Exo. Math 1ère S [ Cône circonscrit à une sphère ]

[Marie-67]

Donc voilà mon problème . . .
énoncé :

S est une sphère de centre O de rayon r . On souhaite inscrire cette sphère dans un cône de révolution dont le volume v est le plus petit possible.
Quelles doivent être les dimensions de ce cône ?

1. Pour répondre, on pose AO= x . Vérifier que v = pi.r² * (x + r )²/x - r

Aide On rapelle que : v = 1/3 pi.R²h ; où R désigne le rayon de la base du cône de révolution et h sa hauteur.

Merci d' avance a ceux/celle qui auront des idées de réponses !

[Jeanpaul]

C'est à base de théorème de Pythagore. Appelle H le point où la génératrice du cône est tangente à la sphère et BC le diamètre du cône à sa base (ça fait une figure très simple dans le plan de symétrie).
Appelle R le rayon du cône à sa base.
Combien vaut AH ? Combien vaut BH ?
Combien vaut la hauteur du cône ?
Comment ces grandeurs sont-elles liées ?
C'est très simple si on fait une figure bien propre.

[mouah]

Escuse moi mais j'ai le même exercice à faire pour la rentrée et j'ai écris les lettres comme tu l'as dis dans ta réponse et je vois qu'il faut utilizer la relation de Pythagore mais je n'arrive pas au bout :s
J'ai :
AH = x+r
BH = R
Et ensuite je bloque :s
Pourrais tu m'aider au plus vite ?

[Jeanpaul]

Il faut bien voir la situation : tu as un cornet de glace où tu as placé une boule de glace qui touche le cône en H et H' quand on fait le dessin dans le plan de symétrie. Ensuite tu mets un couvercle qui vient juste s'appuyer sur le cône et sur la boule. Ce couvercle s'appuie sur les points B et C du cône. I est le milieu du couvercle, dans l'axe.
Il est futé d'introduire le demi-angle au sommet du cône, soit A.
Regarde le triangle AOH, que peux-tu dire de sin(A) ?
Regarde le triangle AIC, que peux-tu dire de tan(A) ?
A partir de là, Pythaogre ou pas, tu dois arriver à trouver la hauteur (tu l'as déjà) et surtout le rayon du couvercle qui te donnera le volume de ta pyramide conique.

[mouah]

C'est possible que je ne sois pas très doué en maths mais je ne comprends pas pourquoi on calcule sin  et tan Â. Cela va nous donner le rayon ? O_o J'avoue que je suis un peu perdue encore et pourtant j'ai retracé la figure avec tes indications et calculé le sin  et la tan  mais cela ne m'avance pas...

[Jeanpaul]

Qu'as-tu trouvé pour le sinus et la tangente ?
Le sinus s'exprime en fonction de 2 grandeurs connues : x et r. La tangente en fonction du rayon que l'on cherche et d'une autre grandeur connue. A partir de là, ça doit fonctionner car Pythagore donne aisément une relation entre sin² et tan².

[mouah]

J'ai trouvé sin  = x+r / x et tan  = R/x+r nan ?

[Jeanpaul]

Ok pour la tangente, pas pour le sinus (qui serait >1). Quelle est ta définition de x exactement ? Et puis n'omets jamais les parenthèses, c'est une source d'erreurs constante.

[mouah]

AO = x
A étant le " sommet " du cône et O le centre de la sphère à l'intérieur du cône.
Pourtant sin = HA/AO=HA/x. Selon le théorème de Pythagore HA = x+r donc sin  dans le triangle AOH = (x+r)/x. Je ne vois pas ma faute...

[Jeanpaul]

AO = x
A étant le " sommet " du cône et O le centre de la sphère à l'intérieur du cône.
Pourtant sin = HA/AO=HA/x. Selon le théorème de Pythagore HA = x+r donc sin  dans le triangle AOH = (x+r)/x. Je ne vois pas ma faute...

Moi, j'en vois plusieurs : déjà le sinus ce n'est pas le côté adjacent divisé par l'hypoténuse. Ensuite le théorème de Pythagore ce n'est pas qu'un côté de l'angle droit est égal à la somme de l'hypoténuse et de l'autre côté.

[mouah]

Bah je sais bien sa donne :
AO²=OH²+HA².
Mais bon je tourne en rond là alors tanpis...

[Jeanpaul]

Regarde bien la figure : sin(A) = r/x et tan(A) = R/(x+r)
Ca permet de calculer R en fonction de x puisque notre ami Pythagore donne une relation entre sin² et tan². Ensuite le volume.

[mouah]

La relation dont tu parles ( sin² et tan² ) je ne la vois nul part :s
J'ai même cherché sur internet et rien ne me l'indique :s

[Jeanpaul]

Ecris que tan² = sin²/cos² et que cos² = 1 - sin² et ça roule.

[mouah]

et cette relation m'apporte à quoi au juste ? A trouver la hauteur ? Parce que je veux bien calculer mais je n'y vois rien de concret par rapport à mon exercice O_o
Désolé d'être si perdue :s