Prouver l'existence d'une limite

[Lydish]

Bonjour!

Je viens d'arriver et je savais pas où poster mon petit message ^^

J'ai pu constater qu'il y avait quelques têtes en maths ici, ce qui pourrait m'être utile... si bien sûr vous décidez de m'aider...

J'ai un prof de maths qui nous dit tout le temps de prouver l'existence des limites de nos fonctions... donc maintenant, chaque fois que j'ai une limite à donner je ne sait pas comment prouver son existence... en fait, je crois que je ne sais même pas ce que ça veut dire... Depuis le lycée, l'existence des limites me paraît évidente et donc, je ne vois pas du tout comment faire pour "prouver l'existence d'une limite"!

Au plus rapide d'entre vous, merci d'avance!
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[invite19431173]

Discussion déplacée.

[Jeanpaul]

Très souvent prouver l'existence d'une limite, c'est donner sa valeur !
Ceci dit, il existe des théorèmes prouvant l'existence d'une limite sans qu'on n'ait besoin de connaître la limite.
Exemples :
- une suite croissante bornée supérieurement a une limite
- une suite coincée entre 2 suites de même limite a une limite

[Lydish]

donc si j'ai une limite composée, et que je dis que justement c'est une composition de limites que je connais, je prouve que la limite de ma fonction existe? Pourtant je n'ai pas prouvé que les fonctions qui composent ma fonction ont une limite qui existait...

Exemple

G(x) = 3/(1/x)

lim G(x) c'est un exemple simple mais je ne veux pas la limite, je veux illustrer mon dire.
x->0+

Là je dis la limite de 1/x en 0 par valeur supérieure = +infini donc celle de 1/(1/x) = 0

limite de 3 en 0+ = 3 donc par le théorème de compostion de fonctions, limites de 3/1/x = 0 en 0+

Je peux dire ça, même si je n'ai pas "prouvé" l'existence de mes deux limites?!
Le fait qu'elles soient évidente prouve leur existence?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8be57c24]

En fait, je pense que le plus simple quand la limite existe, c'est de travailler sans écrire lim f(x)= lim (....)=a par exemple, tu peux faire un truc du genre
f(x)---->a donc lim f(x)=a . Ainsi, tu n'as pas écrit lim f(x) avant d'avoir vérifié que celà existait !
@+++

[Lydish]

Oui oui ça c'est ce qu'on fait avant. On étudie la fonction avant d'étudier sa limite. Mais ça n'empêche qu'à la fin il faut donner sa limite et on n'a le droit de le faire (imposé par mon prof...) qu'avec des théorèmes (composition,opérations, etc) (d'ailleurs au dessus je devrais utiliser l'opération et pas la composition!)

Donc on étudie les fonctions. Dès qu'on a trouvé les limites des diverses petites fonctions qui composent la grande, on utilise les théorèmes... mais il faut savoir si l'existence des limites des autres petites fonctions est vérifiée. C'est pour ça que je demande, est ce que les fonctions dont la limite est évidente (type 1/x, x², etc) suffit à dire que la limite existe?

[Hamb]

En fait je pense que ton prof demande de prouver l'existence de la limite comme l'a dit haruspice pour eviter des raisonnements du type limf(x)=lim(...)=lim(...)
Par contre, lorsque tu appliques un théorème de comparaison ou un théorème d'opération, en général la partie existence de la limite est comprise dans le théorème. Par exemple pour la somme :
Si (u(n)) converge vers l et (v(n)) converge vers l' alors (u+v)(n) est convergente et sa limite est l+l'
Donc en résumé, il faut juste ne pas utiliser la notation lim tant que tu n'as pas utilisé un théorème prouvant l'existence de cette limite.
C'est pour celà que lorsque tu as besoin de modifier l'expression de ta suite ou de ta fonction pour trouver sa limite, il ne faut pas écrire limf(x)=lim(...) ca c'est seulement lorsque tu as fini de réécrire ta fonction autrement que tu appliques le théorème sur les limites et non avant.
Pour ce qui est des fonctions usuelles, normalement dans ton cours vous avez du admettre la limite de certaines fonctions, puisque c'est dans le cours tu peux utiliser ces résultats tels quels

[Guillaume69]

Je suis en prépa bio (je précise car on est peut-être moins pointilleux que les matheux "purs" ^^) quand on travaille sur une inégalité/égalité dont on ne sait pas encore si elle est vraie ou fausse, on met un petit point d'interrogation au dessus de l'opérateur, comme ça on ne manipule pas des choses qui n'existent pas, on me pose la question.
Si on arrive à quelquechose de vrai au bout, on répond oui, sinon on répond non.

Ca pourrait pas marcher dans ton cas ?

Par exemple :

là tu fais ton calcul et au bout d'un moment

f n'admet pas de limite en a