[1°S] Exercice sur les tangentes

[-Zweig-]

Bonjour,

J´aimerais avoir des avis sur ma solution de cet exercice, car je doute sur la validité de ma réponse sur la dernière question en particulier ...

Dans un repère orthonormal, on note P la parabole d´équation .

Objectif : Déterminer l´ensemble des points M d´où l´on peut mener à P deux tangentes perpendiculaires.

On suppose que M de coordonnées (x0; y0) est un point de E (l´ensemble recherché) et de cette hypothèse on essaie de déduire des conditions sur x0 et y0. Par hypothèse, il passe 2 tangentes à P par M, notées T et T´. Notons P´ et P" leurs points de contact avec P, d´abscisses a et c.

1) a) Prouver que T a pour équation y = 2ax - a² De même, que T´ a pour équation y = 2cx - c²

// Bon on applique bêtement la formule du cours

b) Prouver que l´appartenance de M à T et T´ se traduit respectivement par :

a² - 2x0a + y0 = 0 [1]
c² - 2x0c + y0 = 0 [2]

// On utilise les formules précédantes.

2) a) Prouver que 4ac = -1 [3]

// Puisque par hypothèse T et T´ sont perpendiculaires, alors 2a*2c = -1 <=> 4ac = -1.

b) Déduisez alors de [1], [2] et [3] que y0 = -1/4 et dc que M apaprtient à la droite fixe d´équation y = -1/4

// 4ac = -1 <=> ac = -1/4

D´où y0 = -1/4 <=> y0 = ac <=> 2x0a - a² = ac
Clairement, a =/ 0 d´après [3] d´où 2x0a - a² = ac <=> 2x0 = a + c. Ainsi, montrer que y0 = -1/4 est vraie, revient à montrer que 2x0 = a + c est vraie.

[1] - [2] = a² - c² + 2x0(c - a) = 0 <=> (a + c)(a - c) - 2x0(a - c) = 0 <=> (a - c)(a + c - 2x0) = 0

En particulier nous avons dc 2x0 = a + c comme convenu.

Ainsi M(x0; y0) <=> M(x0; -1/4). On en déduit alors que M appartient pour tout x0 à la droite "d" d´équation fixe y = -1/4

3) Si M est un point de "d", peut-on mener de M deux tangentes à P perpendiculaires ? Montrer que la réponse est oui. Concluez.

// Par hypothèse, M € d <=> M(x0 ; -1/4).

M € T <=> y0 = 2x0a - a²
M € T´ <=> y0 = 2x0c - c²

Il reste donc à montrer que T et T´ sont perpendiculaires, i.e, ac = -1/4.

Par hypothèse, y0 = -1/4 <=> 2x0a - a² = ac <=> 2x0 = a + c
(on reprend la même démo que toute à l´heure)

Ainsi, E est l´ensemble des points M se situant sur la droite y = -1/4.

[-Zweig-]

Alors, quelqu'un pourrait-il commenter mes réponses ?

Merci.

[MiMoiMolette]

Comme ça, à chaud, j'aime pas trop la démonstration du 2)b), parce que dans ma tête il faut vraiment partir de ce qu'on a pour arriver au résultat.

J'ai trouvé un truc qui me semble plus...correct

Isole a dans [3], remplace dans [1] (ou idem en isolant c et en remplaçant dans [2]).

Ensuite, multiplie l'équation [1] de manière à pouvoir ultérieurement enlever les x0*a (deux variables en même temps, c'est très, très moche )

Et après, tu tombes sur deux équations avec y0 comme inconnue et ça doit marcher

Pour la 3, j'regarde ~

[-Zweig-]

Merci. Mais en quoi ma démonstration serait fausse ? J'ai juste crée des équivalences par rapport à la formule de départ et j'ai démontré ce qu'il fallait démontrer, non ?

[MiMoiMolette]

On apprend souvent aux élèves de ne pas partir de la solution.

Là, tu te sers quand même du fait que y=ac et tu montres que ça n'aboutit pas à une contradiction...

Elle est peut-être juste, mais perso, elle m'a gênée dès le début ^^ (enfin c'est une intuition...j'suis pas prof)


(on arrête les mp ^^, ma boîte est vraiment pleine :/)

[MiMoiMolette]

Pour la question 3., là, je me servirais de y=-1/4=ac.

Par contre, déduire de 2x0 = a+c la conclusion, je n'arrive pas à trouver phrase adéquate pour la transition...