un probleme de geometrie pour des pro (seconde)

[alextor]

bonjour à tous
j'ai un problème a faire ,c'est assez important et je bloque
j'éspère que vous aller pouvoir m'aider

voici la consigne :

A,B et C sont trois points alignée dans cet ordre, (d) est la droite perpendiculaire en C à (AB) ,M est un point mobile sur (d) distinct de C . la perpendiculaire à (AM) passant par B coupe (d) en N

1) montrer que le cercle de diametre [MN] passe par deux points fixes losque M decrit (d)

voila la figure que j'ai realisé :
merci d'avence pour votre aide .

[alextor]

les points noirs sont les point fixes du cercle
je vais les appeller k et k'
j'ai trouver que dans tous les cas NK = NK' et MK = MK' mais je ne l'ai pas demonter et je ne sais pas si sa va vraiment me servir pour la suite

sinon on peut voir que les triangle NKM et NK'M SONT RECTANGLE car(quand on reli un point du cerdle a son diametre cela forme un triangle rectangle )

voila ce que j'ai trouver

[alextor]

alors trouver que en mesurant sur ma figure que les raports ak sur ab et ac sur ak' sont égaux
maintenant j'essaye de le prouver en cherchant des triangles semblabes pour pouvoir prouver que les points k et k' sont fixes sur la droites (AB)
mais je ne trouve pas ces triangles semblabes.
j'ai decouvert que les 2 triangles NKC et NK'C sont isometrique , ça je peut le prouver .
donc maintenant il ne me faut plus que je trouve plus que 2 triangles semblabes ou le point K ou K' est dans un des deux triangles pour trouver un rapport avec le points k .


es ce que cela serait bon pour prouver que les points K et K' sont fixes ?

bonne chance a tous merci d'avence
je cherche juste qu'elle que chose qui pourait me faire juste demarer dans le probleme par ce que pour l'instant jen'y arrive pas du tout !
d'avence merci

[Jeanpaul]

Ta figure serait plus lisible si ta droite AB était horizontale. Tu verrais mieux que par symétrie les points K et K' ne peuvent être que sur AB.
Appelle H le pied de la perpendiculaire menée de B.
Que peux-tu dire des triangles ABH et AMC ?
Que peux-tu en conclure du produit AH.AM ?
Qu'en déduis-tu du produit AK.AK' où K et K' sont tes points noirs ?
Que peux-tu dire de la somme AK + AK' ?
Conclus.

[alextor]

merci de ta raiponse Jean Paul
alors les triangles ABH et AMC sont semblables puisque ils ont deux de leurs angles de même mesure ,l'angle AHB pour ACM
et ABH pour ACM
donc deux triangles sont semblable il ont leurs 3 côtés de mesures proportionelles
donc AB/AM= AH/AC =HB/CB

mais après je ne vois pas ce que je peut conclure du produit AH.AM
je vois que le produit AH.AM est egale au produit AK.AK'
mais je ne sais pas le justifier

puis pour la somme de ak+ak' je ne remarque rien du tout qui puisse m'avencer je ne voit pas le rapport avec le reste !

[Jeanpaul]

mais après je ne vois pas ce que je peut conclure du produit AH.AM
je vois que le produit AH.AM est egale au produit AK.AK'
mais je ne sais pas le justifier

puis pour la somme de ak+ak' je ne remarque rien du tout qui puisse m'avencer je ne voit pas le rapport avec le reste !

Alors on va en dire un peu plus. Déjà faire une belle figure en coloriant les points qui ne bougent pas.
Tu dois voir que le produit AH*AM est constant et ne dépend pas de M car il vaut AB.AC.
Que le produit AH.AM soit égal au produit AK.AK' est une propriété du cercle (c'est la puissance de A par rapport au cercle). Donc AK.AK' est constant aussi.

La somme AK + AK' est égale à 2 AC, c'est donc une constante aussi.
On a donc 2 quantités AK et AK' dont la somme et le produit sont des constantes, donc ce sont des constantes. CQFD.

[alextor]

je ne trouve pas que le produit de AH.AM est egale à AB.AC
et je ne trouve pas non plus que AH.AM est constante car quand M bouge sur (d) la valeure de HM change ,donc il ne peut pas être toujours egale a AB.AC puisque aucun point ne bouge
(une constante c'est bien quand la valeure ne change pas ?)

[Jeanpaul]

je ne trouve pas que le produit de AH.AM est egale à AB.AC
et je ne trouve pas non plus que AH.AM est constante car quand M bouge sur (d) la valeure de HM change ,donc il ne peut pas être toujours egale a AB.AC puisque aucun point ne bouge
(une constante c'est bien quand la valeure ne change pas ?)

Tu as bien écrit :
AB/AM= AH/AC
donc que vaut le produit AM.AH ? Quand M bouge la longueur AM bouge et AH aussi mais le produit ne bouge pas parce que A, B et C sont fixes.

[alextor]

oui c'est bon ,j'ai compris pouquoi le produit de AM.AH est constant
mais maintenant pour la redaction ,comment demontre t'on que le produit de AM.AH est constant ?

c'est pariel pour la propriéte de c'est la puissance d'un point par rapport a un cercle,je n'avais encore jamais vu cette règle, sil te plais pourais tu m'expliquer comment elle demontre ici que les deux produit AM.AH et AK.AK' SONT EGAUX

[alextor]

pour demonter pourquoi elle est contante c'est bon j'ai trouver

mais par contre pour la propriete,pourait tu me cité la règle

[alextor]

es ce que c'est bon si je met :
le points K,K',H et M sont sur le cercle de diametre [MN]
or d'après la propriete de la puissabce d'un point par rapport a un cerle,on a AM.AH et AK.AK'
donc AM.AH et AK.AK'

[alextor]

AM.AH égale AK.AK'

[Jeanpaul]

Et tu ajoutes : donc AK.AK' = AB.AC = constante

[alextor]

La somme AK + AK' est égale à 2 AC, c'est donc une constante aussi.
On a donc 2 quantités AK et AK' dont la somme et le produit sont des constantes, donc ce sont des constantes. CQFD.

dernière petite question,pour trouver que le somme de AK + AK' est égale à 2 AC ,comment on fais pour le justifier ?
puis heu...c'est quoi des quantités ?

[alextor]

c'est bon j'ai trouver pourquoi et comment la somme de AK + AK' est égale à 2 AC
comme [KK'] coupe perpendiculairement [NM ]le diametre du cercle KC=CK'
AK'=AK+2AC
AC=AK+AC

2AC=AK+AK'
2AK+2AC=AK+2AC+AK
merci de m'avoir aider jean paul
mais qu'appelle t'on des quantités ?