Applications du produit scalaire (équations de droite...)

[L-Hamilton]

Bonjour à tous

Donc voilà, j'ai un petit problème avec un exercice d'application du produit scalaire, j'ai essayé et essayé de trouver une solution au problème, en vain...

Voici donc l'énoncé :

On donne les points A(8 ; 0)et B(0 ; 6), I est le milieu de [AB] et on note H le projeté orthogonal de O sur [AB].

1) a) Trouvez une équation aux droites (AB) et (OH)

D'après la question, je suppose que l'équation est commune aux deux droites (pas sûr du tout !) j'en arrive à cette équation : -3x - 4y + 24 = 0. J'ai utilisé la notion de vecteur directeur, vecteur normal...

b) Déduisez-en les coordonnées de H
Là je bloque complètement, je n'ai aucune idée de ce qu'il faut faire !

2) Le point H se projette orthogonalement en E sur l'axe des abscisses et en F sur l'axe des ordonnées. Démontrez que les droites (OI) et (EF) sont perpendiculaires.
Ici, il faut utiliser la formule aa' + bb' = 0 (condition d'orthogonalité) mais je ne vois pas quelles valeurs il faut utiliser pour ce calcul

Voilà, j'espère que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance
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[inviteb5ca46fd]

Bonjour

On donne les points A(8 ; 0)et B(0 ; 6), I est le milieu de [AB] et on note H le projeté orthogonal de O sur [AB].

1) a) Trouvez une équation aux droites (AB) et (OH)

Pour la droite (AB), qui est de la forme y = ax + b, tu as les coordonnées des deux points, tu peux donc en déduire la pente de la droite. L'ordonnée à l'origine correspond a yB (fais un dessin tu verras mieux)
Pour la droite (OH), qui est de la forme y = ax car O(0,0) elle passe donc par l'origine, tu sais que OH.AB = 0 (c'est un produit scalaire donc des flèches sur OH, AB et 0). Tu calcules les coordonnées du vecteur AB et sachant que (xH,yH).(xAB,yAB) = 0. Tu trouves alors l'équation de (OH)

b) Déduisez-en les coordonnées de H
H est le point commun entre les deux droites. Tu égalises les équations des deux droites et tu obtiens les coordonnées de H.

2) Le point H se projette orthogonalement en E sur l'axe des abscisses et en F sur l'axe des ordonnées. Démontrez que les droites (OI) et (EF) sont perpendiculaires.
Tu en déduis facilement les équations des point E,F et I. En calculant le produit scalaire OI.EF tu trouveras ta réponse.

[L-Hamilton]

Bonjour,

Merci infiniment pour votre aide.

Je bloque sur la relation (xH,yH).(xAB,yAB) = 0.
Je sais que AB (-8 ; 6) et OH (x ; y) mais j'en arrive à -24 + xy = 0
Je n'arrive pas à aller plus loin.

[inviteb5ca46fd]

Je bloque sur la relation (xH,yH).(xAB,yAB) = 0.
Je sais que AB (-8 ; 6) et OH (x ; y) mais j'en arrive à -24 + xy = 0.

C'est plus - 8x + 6 y = 0

[A voir en vidéo sur Futura]