Les flocons de Von Koch

[Flyingsquirrel]

Euh, je ne comprends pas ce que tu fais.

L'aire du premier flocon est connue et vaut (triangle équilatéral dont les côtés ont une longueur unitaire)
On a montré que l'aire vaut l'aire à laquelle on ajoute l'aire des trois petits triangles : (on ajoute l'aire, on fait donc une somme et pas un produit)

Pour en déduire une relation au rang , on ne peut pas se contenter de ces deux cas particuliers là... les premiers termes d'une suite ne peuvent donner qu'une idée sur le comportement de la suite. Si on veut exprimer en fonction de , il faut considérer le flocon au rang et évaluer l'aire ajoutée par rapport au rang . (Si on étudie les premiers termes de c'est pour avoir une idée de son comportement [déjà dit] et parce que raisonner sur des figures avec un petit nombre de côtés permet de cerner simplement comment se fait le passage d'un rang au suivant. Il est alors plus simple de traiter le cas général.)

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[invited0befd3a]

ahh oui dsl excuse moi hier soir j'étais un peu perdu , en fait j'y ai réfléchis le soir , et donc déja ( pour plus tard l'expression de Sn en fonction de n, si la suite est géométrique(et elle l'est normalement) on n'utilisera pas Un=Uoq^n mais la formule de récurence :


Ensuite pour le normbre de petit triangle que l'on ajoute à chaques passage ente C1 -C2 ; C2-C3 ; C3-C4, j'ai remarqué donc que cela suivant le nombre de coté des polygone, c'est a dire que de C0 à C1 bon là on passe de 0 à 3
mais apres , de C1 à C2 on passe de 3 à 12 petit triangle en plus ect donc apres, 48.....
sauf que du C2 à C3, l'aire des petit triangle ajoutées n'est plus la même non? elle est divisée par deux?

[invited0befd3a]

on dirai que S1 = (racine de 3)/ 4
S2 = S1 + 3((racine de 3 ) / 4)
S3 = S2 + 12 (( racine de 3 ) / 4) / 9 ( coté = 1/9 sur ce flocon)
ect....

alors je trouve ça bizarre, je vois pas tres bien la relation entre deux termes consécutif,

Ps: quand une suite vois ses termes multiplié , elle est géométrique?
Quand une suite vios ses termes additionné, elle est arithmétique
mais quand une suite a ses termes qui sotn additionnés puis multipliés, c'est cela qu'on appelle "suite arithmético-géométrique??

[invited0befd3a]

euh non pas déivisée par 2 mais par 3 jveu dire ^^

[Flyingsquirrel]

Ensuite pour le normbre de petit triangle que l'on ajoute à chaques passage ente C1 -C2 ; C2-C3 ; C3-C4, j'ai remarqué donc que cela suivant le nombre de coté des polygone, c'est a dire que de C0 à C1 bon là on passe de 0 à 3
mais apres , de C1 à C2 on passe de 3 à 12 petit triangle en plus ect donc apres, 48.....
sauf que du C2 à C3, l'aire des petit triangle ajoutées n'est plus la même non? elle est divisée par deux?

euh non pas déivisée par 2 mais par 3 jveu dire ^^

C'est la longueur du côté du petit triangle qui est divisée par 3, l'aire est divisée par .

on dirai que S1 = (racine de 3)/ 4

Oui

S2 = S1 + 3((racine de 3 ) / 4)

Non, .

S3 = S2 + 12 (( racine de 3 ) / 4) / 9 ( coté = 1/9 sur ce flocon)

Non, c'est la carré de la longueur du côté qui intervient :

alors je trouve ça bizarre, je vois pas tres bien la relation entre deux termes consécutif,

Elle n'est pas évidente parce que n'est ni géométrique ni arithmétique. (ni arithmético-géométrique ) Pour y voir quelque chose, il faut faire apparaître les puissances de 4 (dues au nombre de côtés : ) et les puissances de 3. (dues à la division par 3 de la longueur des côtés lors d'un passage au flocon suivant)

Si on calcule , on trouve (48 petits triangles dont les côtés ont une longueur 1/27)
À comparer avec

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On constate que quand on passe d'un rang au suivant, la puissance associée au 4 augmente d'une unité et celle associée au 3 de deux unités.
Si on exprime en fonction de (on prend l'expression de , on y remplace par son expression en fonction de puis par son expression en fonction de ) :

(on a factorisé par )
(on a factorisé par )

Là, on s'aperçoit que l'expression entre parenthèses correspond à la somme des trois premiers termes de la suite géométrique de raison et de premier terme 1. Ce genre de somme est sympathique, on est capable, dans le cas de la somme des premiers termes de la suite, de l'exprimer uniquement en fonction de et de la raison. Si on parvient à mettre sous une forme similaire à celle de , on saura donc donner l'expression de en fonction de ... Pour y arriver, il faut suivre l'énoncé : exprimer en fonction de puis appliquer ce que j'ai fait : on remplace par son expression en fonction de puis ... jusque pour faire apparaître la somme.

Ps: quand une suite vois ses termes multiplié , elle est géométrique?
Quand une suite vios ses termes additionné, elle est arithmétique
mais quand une suite a ses termes qui sotn additionnés puis multipliés, c'est cela qu'on appelle "suite arithmético-géométrique??

Oui, ce sont les suites de la forme avec et des constantes.

[invited0befd3a]

d'accord, merci beaucoup ^^.
Franchement je n'aurai jamais trouvé par moi-même, on avait jamais vu de telles suite

Mais merci , au moin j'en ai pris connaissance maintenant.Car d'ailleur c'était bien les derniers exercices ^^ car on vient de passer au chapitre suivant sur les statisques. Ce qui me semble plsu simple ^^.

Merci encore , aurevoir !