limite de xarctan(1/racine(x))

**GalaxieA440** · 27/04/2008, 19h47

Bonsoir

Je sais que j'insiste avec mes arctangeantes pourrites, mais je bloque ici : $\text{[math]}$

Si c'est possible sans passer par les DL, merci de m'aiguiller, parceque j'ai essayé les changments de variable, et de remplacer arctan(1/u), sachant que x est positif, mais je n'arrive à rien

Merci bien, bonne soirée

+++

inviteecc63dee · 27/04/2008, 19h51

Bonsoir,

Arctan(x) = x + o(x) en 0 donc Arctan(1/racine(x)) = ... en l'infini
Et y'a plus qu'à faire la limite...

Pourquoi s'embêter à le faire sans DL ?

Sans DL je ne vois pas comment faire dsl...

**invite1237a629** · 27/04/2008, 19h56

Plop,

Envoyé par Crossover

Bonsoir,

Arctan(x) = x + o(x) en 0 donc Arctan(1/racine(x)) = ... en l'infini
Et y'a plus qu'à faire la limite...

Pourquoi s'embêter à le faire sans DL ?

Sans DL je ne vois pas comment faire dsl...

Parce qu'il est en terminale, non ? :/

Sinon, la limite est-elle censée être finie ?

Vu que arctan(1/sqrt(x)) tend vers quelque chose de fini...

**GalaxieA440** · 27/04/2008, 20h17

La limite c'est + l'infini il me semble....

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Flyingsquirrel** · 27/04/2008, 20h18

Envoyé par MiMoiMolette

Sinon, la limite est-elle censée être finie ?

Vu que arctan(1/sqrt(x)) tend vers quelque chose de fini...

Le quelque chose de fini étant 0, ça ne nous aide pas tellement

Pour lever l'indétermination on peut utiliser le taux d'accroissement de l'arctangente en 0 :

$\text{[math]}$ en posant $\text{[math]}$ .

**GalaxieA440** · 27/04/2008, 20h44

attention c'est x*arctan(1/sqrt(x)), et pas sqrt(x)*arctan(1/sqrt(x)).

Ca marche toujours.... ????

**invite1237a629** · 27/04/2008, 20h50

Sépare x en $\text{[math]}$

invitea250c65c · 27/04/2008, 20h56

Salut !

Je trouve à la calculatrice également $\text{[math]}$ .
Je te propose une méthode à notre niveau, je ne sais pas trop si c'est correct, c'est du "fait maison"

donc attends peut-être confirmation de quelqu'un d'autre :
J'utilise la notation $\text{[math]}$ pour dire que quelque chose tend vers 0 par valeurs strictement positives.
On cherche $\text{[math]}$ .
Pour tout x>0 posons $\text{[math]}$ , aisni $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ .
On a donc par composée $\text{[math]}$ .
Posons pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ( et donc $\text{[math]}$ ) . On a $\text{[math]}$ et donc par composée $\text{[math]}$ .
Or pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
Finalement, il vient $\text{[math]}$
Or $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on conclue par produit que la limite recherchée existe et qu'elle vaut $\text{[math]}$ , comme ce qui avait été conjecturé sur la calculatrice.

Voilà, j'espère que c'était correct.

A+

Edit : Oups grillé depuis longtemps avec le taux d'accroissement

**GalaxieA440** · 27/04/2008, 21h08

Je regarde ça de plus près dès demain...

En tout cas merci encore à vous tous, et bonne soirée ^^

+++

**GalaxieA440** · 28/04/2008, 09h17

Envoyé par Flyingsquirrel

Pour lever l'indétermination on peut utiliser le taux d'accroissement de l'arctangente en 0 :

$\text{[math]}$ en posant $\text{[math]}$ .

Je gère pas trop les taux d'accroissement mais n'y aurait il pas un os ? $\text{[math]}$ ça ne fait pas 0 ????

invitea250c65c · 28/04/2008, 10h18

En fait c'est pas x=0 mais u=0 (enfin pas =0 mais plutot tend vers 0):

On a pour tout x>0 $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .
Quand x tend vers $\text{[math]}$ u tend vers 0.
On calcule donc d'une part $\text{[math]}$ (on donne a u et pas a x la valeur 0, en fait c'est indépendant de ce qui a été fait au dessus imagine que tu cherches juste la limite quand u tend vers 0 de $\text{[math]}$ ).
Ensuite $\text{[math]}$ , par produit (" $\text{[math]}$ ", avec des guillemets biensur

) ca te donne $\text{[math]}$ .

**GalaxieA440** · 28/04/2008, 15h16

ok je comprend mieu le calcul du taux d'accroissement, par contre, on peut comme ça "multiplier" une limite en +l'infini par un taux d'accroissement pour conclure que la fonction globale diverge ? ???

Parcequ'en fait, le taux d'accroissement quand u tends vers 0 de arctan(1/racine(u))/u correspond à un coeff directeur, pas à une limite ?

Mais bon comme je l'ai dit je n'ai pas beacoup utilisé les taux d'accroissement de cette manière, dommage, parceque j'en vois maintenant l'utilité.

En tout cas merci encore pour l'aide

+++

invitea250c65c · 28/04/2008, 16h20

par contre, on peut comme ça "multiplier" une limite en +l'infini par un taux d'accroissement pour conclure que la fonction globale diverge ? ???

Parcequ'en fait, le taux d'accroissement quand u tends vers 0 de arctan(1/racine(u))/u correspond à un coeff directeur, pas à une limite ?

La remarque que j'ai faite entre guillemets n'était biensur qu'une image, on ne fait pas vraiment " $\text{[math]}$ ", on conclue d'après les opérations sur les limites. par exemple, quand tu calcules $\text{[math]}$ , tu commences par dire que 1/x tend vers + infini (+), que l'exponentielle tend vers 1 donc tu conclue que ca tend vers $\text{[math]}$ .
Ici c'est exactement la même chose : soit f la fonction qui nous interesse ( $\text{[math]}$ ), on écrit que f=f1*f2 avec f1 la fonction racine carrée et f2 le taux d'acroissement.
Et la y'a plus qu'a faire les limites de f1 et f2 a part (on a choisi f1 et f2 de facon à ne pas retomber sur une indétermination lors de la conclusion sur la limite de f).
La limite de f1 c'est + infini pas de probleme.
Pour f2 ca s'avere un peu plus compliqué, on fait un changement de variable puis on aboutit à un taux d'accroissement qui permet de lever l'indetermination. Le taux d'accoissement lui c'est en effet un coefficient directeur (d'une sécante à la courbe) mais nous ce qui nous interesse c'est la limite du taux d'accoissement, qui est également un coefficient directeur, mais celui de la tangente, et ca c'est le nombre dérivé.
Par exemple, tu as du voir que $\text{[math]}$ . Si on admet que la fonction sinus est dérivable sur R et que sin'(x)=cos(x) (je dis ca parce qu'en général on se sert justement de cette limite pour montrer la dérivabilité du sinus ...), alors on a :
$\text{[math]}$ car f(0)=sin(0)=0. Et la limite du taux d'accroissement par définition c'est le nombre dérivé. Or ici f est dériavle et f'(x)=cos(x), donc on a $\text{[math]}$ .

Voila, j'espère que j'ai répondu à ta question et que tu as mieux compris. S'il y a des points qui ne sont pas tres clairs n'hésite pas.

A+

**GalaxieA440** · 28/04/2008, 17h46

ok c'est tout bon

Je te remercie pour ces explications et cette aide, ça ma permi en tout cas de bien avancer sur un travail que je traîne depuis un moment déja. Donc j'utiliserai cette méthode du taux d'accroissement, même si l'autre que tu proposes est très ingénieuse (respect d'ailleurs, je n'étais pas arrivé jusque la en utilisant le même changement de variable...)...

Voila voila merci encore

+++

**GalaxieA440** · 28/04/2008, 17h56

ouais en fait c'est le terme "taux d'accroissement" qui m'a embrouillé, parceque c'est vrai qu'il doit bien figurer quelque part, mais en fait c'est jsute la défnition ici, avec la limite, du nombre dérivé, que j'utilise en fait très souvent. Mais je ne pense pas que j'aurai pensé comme ça au changement de variable nécessaire ^^

+++

invitea250c65c · 29/04/2008, 10h43

OK super ravi d'avoir pu t'aider.
J'en profite juste pour te dire qu'on pourrait aussi écrire que $\text{[math]}$ et utiliser la règle de l'hospital (la limite du quotient des fonctions est égal à la limite du quotient des dérivées, si ca ne marche pas du premier coup on rederive ... mais ici ca marche du premier coup).
Petite question (désolé j'utilise ton post

) : savez vous pourquoi la règle de l'hospital n'est pas appréciée par les profs de maths (enfin il parait) ? Je suis d'accord qu'il faut faire attention en l'utilisant à ne pas écrire d'horreurs du genre $\text{[math]}$ (désolé c'est pas beau

), mais par exemple pourra-t-on l'utiliser en prépa ? parce que c'est bien pratique quand même.

inviteec581d0f · 29/04/2008, 11h05

Salut electrofred,

à ta question on m'a dit que la plupart des élèves ne savent pas ce qu'ils font en manipulant ce truc. Il serait mieux d'appliquer le théorème des accroissement finis et encore, il faut Bien l'utiliser.

Sur ce,

a+

limite de xarctan(1/racine(x))

limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

Re : limite de xarctan(1/racine(x))

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