limite d'un produit de fonction

msa38 · 12/05/2008 - 11h46

Bonjour à tous,
J'ai un exercice de maths à faire mais je coince.
Si quelqu'un pourrait me donner un coup de pouce, il serait le bienvenu

voilà l'énoncé:

f est la fonction définie sur R-{0} par
f(x)=(x²+1)*1/x
Etudier la limite en + infinie

J'ai trouvé lim+inf (x²+1)=+inf

et lim+inf (1/x)=0

et d'après les règles opératoires on a une forme indéterminée, c'est la que je coince.
Merci de m'aider.

Flyingsquirrel · 12/05/2008 - 11h49

Salut et bienvenue

Si tu développes l'expression $(x^2+1)\frac{1}{x}$ , tu n'auras plus une forme indéterminée.

msa38 · 12/05/2008 - 11h51

j'ai essayer mais je coince toujours
on a alors (x+1)(x-1)/x

Dydo · 12/05/2008 - 12h16

Dans ce genre de cas ( fonction rationnelles, i.e. quotient de deux fonctions polynômes ), la bonne méthode est de mettre en foncteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :

$\frac{x^2+1}{x} \ = \ \frac{x^2(1+\frac{1}{x^2})}{x} \ = \ x(1+\frac{1}{x^2})$

Tu devrais pouvoir conclure facilement

Plus généralement ( mais je doute que tu puisses t'en servir comme ça si cela n'a pas été explicitement vu en cours, ça reste toujours bon à savoir pour d'éventuelles vérifications ), une fonction rationnelle a même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré en $\infty$ .

Ici on aurait bien $\frac{x^2}{x}$ qui tend vers $+ \infty$ en $+\infty$ .

Dydo.

Flyingsquirrel · 12/05/2008 - 12h20

j'ai essayer mais je coince toujours
on a alors (x+1)(x-1)/x

Tu coinces parce que tu as factorisé l'expression (avec une erreur

) au lieu de la développer : $(x^2+1)\frac{1}{x}=x^2\cdot \frac{1}{x}+1\cdot \frac{1}{x}=\ldots$

Pour l'erreur dans la factorisation : $x^2+1\neq (x+1)(x-1)$ : le polynôme $x^2+1$ n'a pas de racines réels, ( $\Delta<0$ ) il n'est pas possible de le factoriser sur $\mathbb{R}$ . (l'identité remarquable à laquelle tu as pensé est sûrement $x^2-1=(x-1)(x+1)$ ...)