Racines évidentes (3e degré)

[Trent]

Bonjour,

Souvent dans la résolution d'un polynôme du 2nd degré il y a une racine évidente et du coup on perd beaucoup de temps à chercher le discriminent. (J'ai fais un programme et j'ai plus qu'à recopier mais ça fait pas très pro !).

Donc j'aimerais savoir si vous avez des "techniques" trouver ces racines ou tout simplement si vous connaîtriez un site qui propose des exercices pour progresser.

Merci beaucoup.

[lefabab]

Bonsoir,
et non à ma connaissance c'est la méthode la plus rapide !

[Trent]

La méthode la plus rapide est de trouver une racine évidente !

[Seirios]

Bonjour,

La méthode la plus rapide est de trouver une racine évidente !

Mais il n'existe pas toujours de racines évidentes. Le mieux, c'est, face à un polynôme P(x), de calculer P(0), P(1), P(-1), P(2), P(-2), P(-3) et P(3), et si on ne trouve pas de racines évidentes, on utilise le discriminant.

[invité576543]

Supprimé...

[Electrofred]

... J'ai fais un programme et j'ai plus qu'à recopier mais ça fait pas très pro ! ...

Si tu sais un peu programmer, au niveau de l'entrainement, tu peux fair un programme qui te propose des équations du second degré et tu dois trouver une racine évidente : tu pars de la forme factorisée, P(x)=a(x-x1)(x-x2), avec x1 qui prend les valeurs {-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4} et a un entier, x2 également un entier (pour tomber sur des entiers quand tu développes) et tu te débrouilles pour que ta calculatrice te sorte juste P(x)=ax²+bx+c (développe puis identifie dans le cas général), tu dois alors trouver la racine évidente (entier compris entre -4 et 4) et tu en déduit l'autre racine (par ex avec le produit des racines qui vaut c/a, ...).

A+

[loweekee]

Bonjour, une autre méthode consiste à chercher des racines rationnelles, dans le cas d'un polynôme à coefficients entiers;

on démontre que si est une racine du polynôme:



où a, b, c et d sont entiers, et p et q sont premiers entre eux,

alors p divise d
et q divise a.

De là, on n'a plus qu'à vérifier si il n'existe pas une racine parmi les rationnels s'écrivant:



et le tour est joué!

edit: ça marche pour tous les degrés, avec a: le coefficient dominant, et d: la constante.

[Trent]

Merci Electrored c'est vrai que je n'avais pas pensé à programmer moi même un ptit truc qui me ferait des exemples !

Merci aussi loweekee je ne connaissais pas cette méthode, je l'ai compris dans l'ensemble et je vais essayer de l'appliquer pour voir si elle est vraiment rapide !

[Scorp]

Par exemple, tu cherches les racines du polynôme générale aX²+bX+c.
Un petit truc qui peut être sympa à regarder avant d'essayer des valeurs au hasard, c'est de voir la somme et le produit des racines :
Tu te ramènes à l'écriture : X²-SX+P=0
Dans notre, cas, il suffit de diviser par le coefficient devant X². On aura donc S=-b/a et P=c/a
S représente la somme des racines, et P le produit
Ca donne parfois des idées pour trouver les racines :
par exemple : le polynôme 3X²+15X+18 ?
Tu divise par 3, d'où X²+5X+6=0
Tu auras donc x1+x2=-5 et x1*x2=6
Tu vois directement que x1=-2 et x2=-3
Même si tu n'aboutis pas avec cette méthode, elle est rapide (donc pas de grosse perte de temps), et au moins elle te donne le signe des racines.
Si P>0, alors les deux racines sont de même signe, et ce signe et donné par le signe de S (cf notre cas au dessus)
Si P<0 alors tu sais que tu cherches une racine positive et l'autre négative.

Seul problème de cette méthode, c'est qu'au dela du degré 2, elle devient difficile à mettre en oeuvre