[TS+] Limites, formes indéterminées

[GalaxieA440]

Plop

Si certains d'entre vous disposent de quelques exercices sur les limites avec de belles formes indéterminées notamment, des jolies, des astucieuses, des à connaitre absolument, etc..., je suis intéréssé pour les bosser un peu .

Merci à tous

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EDIT : euh, afficher peut être les réponses en spoiler si vous les poster...

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[Scorp]

Je commencerais en parlant des "croissances comparées" qu'on doit voir (et savoir !) en terminale. Ce sont en fait des formes indéterminés qu'il faut connaitre (et savoir démontrer si possible) :
1)
2)
3)
4)

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Réponse :

1) 0
2)
3) 0
4) 0

C'est assez simple, mais ca me parait un bon début pour des révisions niveau terminale avant d'aborder des limites plus compliquées

[GalaxieA440]

Yep, ainsi que les classiques du genre :

en 0

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En se ramenant au nombre dérivé

Je serai surtout intéressé (personellement) par des formes indéterminées qui ne viennent pas du cours, pour m'entraîner à les lever...

Merci

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[FonKy-]

Je commencerais en parlant des "croissances comparées" qu'on doit voir (et savoir !) en terminale. Ce sont en fait des formes indéterminés qu'il faut connaitre (et savoir démontrer si possible) :
1)
2)
3)
4)

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Réponse :

1) 0
2)
3) 0
4) 0

C'est assez simple, mais ca me parait un bon début pour des révisions niveau terminale avant d'aborder des limites plus compliquées

je suis pas du tout d'accord scorp avec tes resultats, tout dépend de x

[A voir en vidéo sur Futura]

[Hamb]

c'est parce qu'il s'est trompé, la variable est x et non pas n.

sinon un exercice intéressant d'après moi : (désolé je suis nul en latex)
1) calculer la limite pour x tendant vers 0 de ln(1+x)/x
2) en déduire la limite de la suite (de variable n) de terme général

je rappelle parce que je ne suis pas certain qu'il soit vu en terminale le théorème suivant :
Si u est une suite réelle telle que sa limite vaut 0 et f:I->R une fonction définie sur un intervalle I telle que sa limite en 0 vaut l, alors la suite de terme général f(u(n)) tend vers l

je donnne un indice pour le 2) mais a mon avis on peut faire sans :

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il faut passer par le logarithme de la suite

[Scorp]

oops, j'avais pas vu mon erreur : c'est bien entendu x qu'on fait tendre vers ...

[invitea250c65c]

Salut !

Je vous propose certaines limites. Tout peut se faire avec des connaissances de TS (TS+ disons, mais le + correspond plutôt à des astuces, pas à des règles fondamentales vues dans les classes supérieures), donc DL et autres interdits !

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La 1 est une limite classique, c'est un cas un peu plus général que celui donné par Hamb mais le principe est le même (ce résultat apparait d'ailleurs naturellement lorsque l'on construit l'exponentielle avec la méthode d'Euler).
Sinon c'est du calcul trigo, pour la 10 on pourra penser au résultat obtenu pour la 1 qui simplifiera les choses.
Pour la 4 la première méthode à laquelle on pense est le taux de variations, je vous propose d'essayer de faire autrement pour changer.

Petite question : GalaxieA440, tu évoques le sin(x)/x quand x tend vers 0, la démo que tu donnes est celle que l'on donne au lycée, mais le problème est que l'on démontre justement (au lycée) que la dérivée du sinus est le cosinus grace à cette limite ... . D'ailleurs même tout ce qui est dévoleppement limité est inefficace puisque les dérivées du sinus sont connues graces à cette limite. Je ne connais qu'une démo géométrique pour cette limite. Quelqu'un en connait-il une autre ? Ou bien une démo de sin'(x)=cos(x) qui n'utilise pas cette limite ? Biensur tout cela en gardant les mêmes définitions (vues au lycée) du sinus et du cosinus (si on les définit avec les séries entières, c'est évident que sin'(x)=cos(x) et on peut en déduire grace a la méthode de GalaxieA440 la limite).

Cependant, cette limite est supposée connue pour ce que j'ai donné biensur.

A+

[GalaxieA440]

Merci Electrofred

Je ne connais pas d'autres méthode pour la démonstration qui t'intéresse et de rapides recherches n'ont rien données. A voir ce qu'en pensent les gods

+++

[invite425270e0]

C'est parti:

1)

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on passe par le ln:
ça devient
On fait le changement de variable
N tendra donc vers 0
Donc ça devient:
Or tends vers 1 (en faisant le nombre dérivée, comme dans l'exo précédent, on multiplie par le x devant, avec l'exponentielle on a finalement:

2)

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On remarque que
Ensuite on fait avec le nombre dérivée chacun séparément, on retrouve gentillement a et 1/b ce qui donne finalement:

J'vais manger un bout et si j'me suis pas endormi, j'fais la suite

[invitea250c65c]

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Nickel, pour la 2 peut être un peu plus simple : et connaissant la limite de référence de sin(X)/X quand X tend vers 0 ... . C'est quasi pareil, ca évite juste d'avoir à réutiliser le nombre dérivé.

OK Galaxie, merci quand même.
Qu'en pensent les Gods ?

[invite425270e0]

La 3 est quand même tendu; j'en suis à deux pages de calculs... c'est si compliqué ou pas?

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j'ai écris les termes de la suite, puis factoriser etc...

[Thorin]

Je n'ai pas poursuivi pour voir si ça donnait quelque chose, mais pour la 3, remarquer que sin(kx)/k = cos(kx)' pourrait éventuellement servir

Ou peut être pas, ce n'est qu'une idée à la va-vite.

[invite425270e0]

Ah ouais pas mal, gna pourquoi j'l'ai pas vu j'crois que après c'est faisable suffit de dire

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la dérivée d'une somme est la somme des dérivées; donc la somme des dérivées est la dérivée de la somme

[invite425270e0]

en fait ça fait un truc jolie mais bon...:

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c'est la dérivée de sin(kx)/k qui vaut cos(kx)
du coup faut intégrer la somme somme des cos(kx), c'est assez moche, j'essaye la primitive ^^

EDIT: Maple y arrive pas :s moi non plus, enfin mieux dit: j'y arrive pas et Maple non plus ^^

[invitea250c65c]

Je n'ai pas poursuivi pour voir si ça donnait quelque chose, mais pour la 3, remarquer que sin(kx)/k = cos(kx)' pourrait éventuellement servir

Ou peut être pas, ce n'est qu'une idée à la va-vite.

Juste une petite erreur, tu voulais dire (sin(kx)/k)'=cos(kx) je pense.

Pas bête je n'y avais pas pensé, mais du coup ca va vraiment mais alors vraiment compliquer les choses. Si j'ai bien compris ce que tu veux faire, tu veux passer par une primitive plus, ensuite une solution serait de calculer la somme des primitives et en utilisant la compatibilité de l'addition avec la dérivation donnée par Universmaster (ici c'est plutot l'intégration) puis conclure. Ca donnerait :
. Ensuite, on montre que et donc notre fonction dont on cherche la limite en est . Problème, là c'est dur dur d'exprimer la fonction directement (je ne sais même pas si c'est possible à l'aide des fonctions usuelles).
L'idée est pas mal mais le problème c'est que l'intégrale à calculer à la fin n'est pas très sympathique.

Je vous laisse encore chercher un peu.

Un indice ?

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Limite d'une somme = somme des limites ...

Edit : grillé par Universmaster, en effet l'idée c'est ca je suppose que c'est ce que tu as fait, je viens d'essayer sur integrator et il ne trouve pas mon intégrale à l'aide des fonctions usuelles. Il y a bien plus simple ne vous inquiétez pas (c'était dans un bouquin de TS mais avec une question intermédiaire, que j'ai enlevé puisque l'on est en TS+ ).

[Thorin]

c'est la dérivée de sin(kx)/k qui vaut cos(kx)

Putain, chui trop con.1 mois de vacances, et j'oublie comment calculer une dérivée^^

Enfin lidée général doit quand même marcher...

[invite425270e0]

Merci Electrofred d'avoir mis tout ça sous LaTeX j'étais en train de galérer pour y mettre ^^

J'essaye ton indice

[invitea250c65c]

Aie Aie aie je suis désolé, je viens de comprendre pourquoi vous tourniez en rond : erreur d'énoncé : c'est , parce que dans mon énoncé x ne tendait vers rien du tout. Ca revient quasiment au même pour ce que j'ai dit dans mon message précédent, à part que j'ai introduit le n qui tendait vers .

Encore pardon,

bonne soirée.

[invitea250c65c]

Aie Aie aie je suis désolé, je viens de comprendre pourquoi vous tourniez en rond : erreur d'énoncé : c'est , parce que dans mon énoncé x ne tendait vers rien du tout. Ca revient quasiment au même pour ce que j'ai dit dans mon message précédent, à part que j'ai introduit le n qui tendait vers .

Encore pardon,

bonne soirée.

[invite425270e0]

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SI on pose u_n=
sa limite vaut 0, mais j'ai du mal avec ton indice, la limite d'une somme = la somme des limites... parce que au début lorsque k vaut 1,2,3,...n₀ on est pas dans la limite de u_n, donc même en décomposant la somme en deux, j'me retrouve coincé encore une fois...

[Thorin]

Aie Aie aie je suis désolé, je viens de comprendre pourquoi vous tourniez en rond : erreur d'énoncé : c'est , parce que dans mon énoncé x ne tendait vers rien du tout. Ca revient quasiment au même pour ce que j'ai dit dans mon message précédent, à part que j'ai introduit le n qui tendait vers .

Voici qui rend le problème beaucoup plus simple^^

[invite425270e0]

Oh ça m'aura permis de refaire les sommes de sin(kx) cos(kx) et deux trois autres calculs assez bourrain pendant une heure et demi lool pas grave, j'recommence ^^

[invite425270e0]

Aie Aie aie je suis désolé, je viens de comprendre pourquoi vous tourniez en rond : erreur d'énoncé : c'est , parce que dans mon énoncé x ne tendait vers rien du tout. Ca revient quasiment au même pour ce que j'ai dit dans mon message précédent, à part que j'ai introduit le n qui tendait vers .

Encore pardon,

bonne soirée.

Tendu quand même :s

Soit n₀ dans R,


La première somme, comme n₀ dans R, x * n₀ = 0 et sin(0)=0 donc la limite vaut 0
pour la seconde, on a k qui tends vers +inf donc un coup de thm des gendarmes et on trouve que sin(kx)/k tends vers 0 d'ou le tout tends vers 0. C'est assez "intuitif" pour la fin :s si quelqu'un peut m'aider ou proposer une solution?

[Thorin]

Beaucoup de petits rien ne font pas forcément rien

[invite425270e0]

Ce sont pas des petits rien, c'est des rien car sin(0)=0
Par contre pour le reste oui c'est vrai... je crois qu'il faut trouver 0 (d'après Maple)

[Thorin]

On ne dispose pas de théorème traitant ainsi le cas d'une somme infini, je crois.
Je pense que l'idée de séparer la somme est bonne...mais à condition de la séparer à un endroit judicieux.

[invite425270e0]

Ok, merci, j'y réfléchis demain soir, j'suis crevé j'vais aller dormir 12h ensuite torcher un bouquin pr la rentrée et refaire cet exo ^^ bonne nuit +++

[taladris]

euh... l'interversion de limites (limite et série dans le cas présent), c'est un peu bourrin pour des exos de révisions de fin de TS
C'est un gros morceau du programme de post-bac et je ne suis pas sûr que tous les élèves de Licence maîtrise ce sujet.

Après, ça reste faisable (un peu de bidouillage) mais ce n'est pas très intuitif

[Hamb]

en réponse à taladris (élément de réponse inside)

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en utilisant la limite de sinx/x c'est assez rapide sans parler de séries, rien qui outrepasse les droits de la terminale ^^

[Guillaume69]

Bonsoir

Je suis d'accord avec taladris.
J'en propose quelques unes plus simples.

A)
B)
C)
D)
E) est dérivable en a

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Il faut utiliser la définition du nombre dérivé.
A) -sin (2a)
B)
C) ln(a)- ln(b)
D) . A trouver aussi en se ramenant à la somme des termes d'une suite géométrique.
E) Indication : poser u = f² puis v (h) = g(x+3h) - g(x-h)
On trouve 8f'(x)f(x)