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[TS+] Limites, formes indéterminées



  1. #1
    GalaxieA440

    [TS+] Limites, formes indéterminées


    ------

    Plop

    Si certains d'entre vous disposent de quelques exercices sur les limites avec de belles formes indéterminées notamment, des jolies, des astucieuses, des à connaitre absolument, etc..., je suis intéréssé pour les bosser un peu .

    Merci à tous

    +++

    EDIT : euh, afficher peut être les réponses en spoiler si vous les poster...

    +++


    -----
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

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  3. #2
    Scorp

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Je commencerais en parlant des "croissances comparées" qu'on doit voir (et savoir !) en terminale. Ce sont en fait des formes indéterminés qu'il faut connaitre (et savoir démontrer si possible) :
    1)
    2)
    3)
    4)

     Cliquez pour afficher


    C'est assez simple, mais ca me parait un bon début pour des révisions niveau terminale avant d'aborder des limites plus compliquées

  4. #3
    GalaxieA440

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Yep, ainsi que les classiques du genre :

    en 0

     Cliquez pour afficher


    Je serai surtout intéressé (personellement) par des formes indéterminées qui ne viennent pas du cours, pour m'entraîner à les lever...

    Merci

    +++

    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  5. #4
    FonKy-

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Citation Envoyé par Scorp Voir le message
    Je commencerais en parlant des "croissances comparées" qu'on doit voir (et savoir !) en terminale. Ce sont en fait des formes indéterminés qu'il faut connaitre (et savoir démontrer si possible) :
    1)
    2)
    3)
    4)

     Cliquez pour afficher


    C'est assez simple, mais ca me parait un bon début pour des révisions niveau terminale avant d'aborder des limites plus compliquées
    je suis pas du tout d'accord scorp avec tes resultats, tout dépend de x

  6. #5
    Hamb

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    c'est parce qu'il s'est trompé, la variable est x et non pas n.

    sinon un exercice intéressant d'après moi : (désolé je suis nul en latex)
    1) calculer la limite pour x tendant vers 0 de ln(1+x)/x
    2) en déduire la limite de la suite (de variable n) de terme général

    je rappelle parce que je ne suis pas certain qu'il soit vu en terminale le théorème suivant :
    Si u est une suite réelle telle que sa limite vaut 0 et f:I->R une fonction définie sur un intervalle I telle que sa limite en 0 vaut l, alors la suite de terme général f(u(n)) tend vers l

    je donnne un indice pour le 2) mais a mon avis on peut faire sans :
     Cliquez pour afficher

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Scorp

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    oops, j'avais pas vu mon erreur : c'est bien entendu x qu'on fait tendre vers ...

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  10. #7
    Electrofred

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Salut !

    Je vous propose certaines limites. Tout peut se faire avec des connaissances de TS (TS+ disons, mais le + correspond plutôt à des astuces, pas à des règles fondamentales vues dans les classes supérieures), donc DL et autres interdits !

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    La 1 est une limite classique, c'est un cas un peu plus général que celui donné par Hamb mais le principe est le même (ce résultat apparait d'ailleurs naturellement lorsque l'on construit l'exponentielle avec la méthode d'Euler).
    Sinon c'est du calcul trigo, pour la 10 on pourra penser au résultat obtenu pour la 1 qui simplifiera les choses.
    Pour la 4 la première méthode à laquelle on pense est le taux de variations, je vous propose d'essayer de faire autrement pour changer.

    Petite question : GalaxieA440, tu évoques le sin(x)/x quand x tend vers 0, la démo que tu donnes est celle que l'on donne au lycée, mais le problème est que l'on démontre justement (au lycée) que la dérivée du sinus est le cosinus grace à cette limite ... . D'ailleurs même tout ce qui est dévoleppement limité est inefficace puisque les dérivées du sinus sont connues graces à cette limite. Je ne connais qu'une démo géométrique pour cette limite. Quelqu'un en connait-il une autre ? Ou bien une démo de sin'(x)=cos(x) qui n'utilise pas cette limite ? Biensur tout cela en gardant les mêmes définitions (vues au lycée) du sinus et du cosinus (si on les définit avec les séries entières, c'est évident que sin'(x)=cos(x) et on peut en déduire grace a la méthode de GalaxieA440 la limite).

    Cependant, cette limite est supposée connue pour ce que j'ai donné biensur.

    A+

  11. #8
    GalaxieA440

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Merci Electrofred

    Je ne connais pas d'autres méthode pour la démonstration qui t'intéresse et de rapides recherches n'ont rien données. A voir ce qu'en pensent les gods

    +++

    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  12. #9
    Universmaster

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    C'est parti:

    1)

     Cliquez pour afficher


    2)

     Cliquez pour afficher


    J'vais manger un bout et si j'me suis pas endormi, j'fais la suite
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  13. #10
    Electrofred

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

     Cliquez pour afficher


    OK Galaxie, merci quand même.
    Qu'en pensent les Gods ?
    Dernière modification par Electrofred ; 09/08/2008 à 21h12.

  14. #11
    Universmaster

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    La 3 est quand même tendu; j'en suis à deux pages de calculs... c'est si compliqué ou pas?

     Cliquez pour afficher
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  15. #12
    Thorin

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Je n'ai pas poursuivi pour voir si ça donnait quelque chose, mais pour la 3, remarquer que sin(kx)/k = cos(kx)' pourrait éventuellement servir

    Ou peut être pas, ce n'est qu'une idée à la va-vite.

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  17. #13
    Universmaster

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Ah ouais pas mal, gna pourquoi j'l'ai pas vu j'crois que après c'est faisable suffit de dire

     Cliquez pour afficher
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  18. #14
    Universmaster

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    en fait ça fait un truc jolie mais bon...:
     Cliquez pour afficher


    EDIT: Maple y arrive pas :s moi non plus, enfin mieux dit: j'y arrive pas et Maple non plus ^^
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  19. #15
    Electrofred

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    Je n'ai pas poursuivi pour voir si ça donnait quelque chose, mais pour la 3, remarquer que sin(kx)/k = cos(kx)' pourrait éventuellement servir

    Ou peut être pas, ce n'est qu'une idée à la va-vite.
    Juste une petite erreur, tu voulais dire (sin(kx)/k)'=cos(kx) je pense.

    Pas bête je n'y avais pas pensé, mais du coup ca va vraiment mais alors vraiment compliquer les choses. Si j'ai bien compris ce que tu veux faire, tu veux passer par une primitive plus, ensuite une solution serait de calculer la somme des primitives et en utilisant la compatibilité de l'addition avec la dérivation donnée par Universmaster (ici c'est plutot l'intégration) puis conclure. Ca donnerait :
    . Ensuite, on montre que et donc notre fonction dont on cherche la limite en est . Problème, là c'est dur dur d'exprimer la fonction directement (je ne sais même pas si c'est possible à l'aide des fonctions usuelles).
    L'idée est pas mal mais le problème c'est que l'intégrale à calculer à la fin n'est pas très sympathique.

    Je vous laisse encore chercher un peu.

    Un indice ?
     Cliquez pour afficher


    Edit : grillé par Universmaster, en effet l'idée c'est ca je suppose que c'est ce que tu as fait, je viens d'essayer sur integrator et il ne trouve pas mon intégrale à l'aide des fonctions usuelles. Il y a bien plus simple ne vous inquiétez pas (c'était dans un bouquin de TS mais avec une question intermédiaire, que j'ai enlevé puisque l'on est en TS+ ).
    Dernière modification par Electrofred ; 09/08/2008 à 22h36.

  20. #16
    Thorin

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    c'est la dérivée de sin(kx)/k qui vaut cos(kx)
    Putain, chui trop con.1 mois de vacances, et j'oublie comment calculer une dérivée^^

    Enfin lidée général doit quand même marcher...

  21. #17
    Universmaster

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Merci Electrofred d'avoir mis tout ça sous LaTeX j'étais en train de galérer pour y mettre ^^

    J'essaye ton indice
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  22. #18
    Electrofred

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Aie Aie aie je suis désolé, je viens de comprendre pourquoi vous tourniez en rond : erreur d'énoncé : c'est , parce que dans mon énoncé x ne tendait vers rien du tout. Ca revient quasiment au même pour ce que j'ai dit dans mon message précédent, à part que j'ai introduit le n qui tendait vers .

    Encore pardon,

    bonne soirée.

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  24. #19
    Electrofred

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Aie Aie aie je suis désolé, je viens de comprendre pourquoi vous tourniez en rond : erreur d'énoncé : c'est , parce que dans mon énoncé x ne tendait vers rien du tout. Ca revient quasiment au même pour ce que j'ai dit dans mon message précédent, à part que j'ai introduit le n qui tendait vers .

    Encore pardon,

    bonne soirée.

  25. #20
    Universmaster

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

     Cliquez pour afficher
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  26. #21
    Thorin

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Citation Envoyé par Electrofred Voir le message
    Aie Aie aie je suis désolé, je viens de comprendre pourquoi vous tourniez en rond : erreur d'énoncé : c'est , parce que dans mon énoncé x ne tendait vers rien du tout. Ca revient quasiment au même pour ce que j'ai dit dans mon message précédent, à part que j'ai introduit le n qui tendait vers .
    Voici qui rend le problème beaucoup plus simple^^

  27. #22
    Universmaster

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Oh ça m'aura permis de refaire les sommes de sin(kx) cos(kx) et deux trois autres calculs assez bourrain pendant une heure et demi lool pas grave, j'recommence ^^
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  28. #23
    Universmaster

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Citation Envoyé par Electrofred Voir le message
    Aie Aie aie je suis désolé, je viens de comprendre pourquoi vous tourniez en rond : erreur d'énoncé : c'est , parce que dans mon énoncé x ne tendait vers rien du tout. Ca revient quasiment au même pour ce que j'ai dit dans mon message précédent, à part que j'ai introduit le n qui tendait vers .

    Encore pardon,

    bonne soirée.
    Tendu quand même :s

    Soit n0 dans R,


    La première somme, comme n0 dans R, x * n0 = 0 et sin(0)=0 donc la limite vaut 0
    pour la seconde, on a k qui tends vers +inf donc un coup de thm des gendarmes et on trouve que sin(kx)/k tends vers 0 d'ou le tout tends vers 0. C'est assez "intuitif" pour la fin :s si quelqu'un peut m'aider ou proposer une solution?
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  29. #24
    Thorin

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Beaucoup de petits rien ne font pas forcément rien

  30. Publicité
  31. #25
    Universmaster

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Ce sont pas des petits rien, c'est des rien car sin(0)=0
    Par contre pour le reste oui c'est vrai... je crois qu'il faut trouver 0 (d'après Maple)
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  32. #26
    Thorin

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    On ne dispose pas de théorème traitant ainsi le cas d'une somme infini, je crois.
    Je pense que l'idée de séparer la somme est bonne...mais à condition de la séparer à un endroit judicieux.

  33. #27
    Universmaster

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Ok, merci, j'y réfléchis demain soir, j'suis crevé j'vais aller dormir 12h ensuite torcher un bouquin pr la rentrée et refaire cet exo ^^ bonne nuit +++
    "Dieu ne joue pas aux dés" [Albert Einstein]

  34. #28
    taladris

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    euh... l'interversion de limites (limite et série dans le cas présent), c'est un peu bourrin pour des exos de révisions de fin de TS
    C'est un gros morceau du programme de post-bac et je ne suis pas sûr que tous les élèves de Licence maîtrise ce sujet.

    Après, ça reste faisable (un peu de bidouillage) mais ce n'est pas très intuitif

  35. #29
    Hamb

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    en réponse à taladris (élément de réponse inside)
     Cliquez pour afficher

  36. #30
    Guillaume69

    Re : [TS+] Limites, formes indéterminées

    Bonsoir

    Je suis d'accord avec taladris.
    J'en propose quelques unes plus simples.

    A)
    B)
    C)
    D)
    E) est dérivable en a

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