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Origine des formes indéterminées



  1. #1
    Seirios

    Origine des formes indéterminées


    ------

    Bonjour à tous,

    Comme le dit le titre, j'aimerais savoir d'où viennent exactement les formes indéterminées que l'on nous demande d'apprendre par coeur dans un cours sur les limites de fonction.

    Quelqu'un pourrait-il me renseigner sur le sujet ?

    Merci d'avance
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  3. #2
    Follium

    Re : Origine des formes indéterminées

    Salut Phys2.

    Pas besoin de les apprendre par coeur les formes indéterminées. Un peu de bon sens fait l'affaire. L'infini est un nombre que l'on utilise dans les réels mais n'est pas trop réel mais ce n'est pas grave quand même quand il est utilisé tout seul. Par contre infini/infini = infini*0 = 0/0 = 0/infini = infini/0 (car infini = 1/0) etc ..., ne sont pas des nombres que l'on peut utiliser et on a souvent recours à des techniques + raffinées pour voir ce qu'il se passe à ce(s) point(s) (que l'on dit indéterminé(s)).
    Follium

  4. #3
    ALEX15000

    Re : Origine des formes indéterminées

    Porquoi considere tu que 0/infini et infini/0 sont des formes indéterminées???
    "J'adore violer votre virginité intellectuelle..."

  5. #4
    Sigmar

    Re : Origine des formes indéterminées

    Citation Envoyé par ALEX15000 Voir le message
    Porquoi considere tu que 0/infini et infini/0 sont des formes indéterminées???
    Tu as raison, ce ne sont pas des FI.

    Justement, ce sont les cas les plus "simples" :
    0/infini tend "plus rapidement" vers 0 que 0/n'importe quoi différent de l'infini.
    Et infini/0 tend "rapidement" vers l'infini. Attention dans le deuxième cas cela dit. Il faut faire attention au signe du numérateur et du dénominateur lorsqu'ils tendent respectivement vers l'infini et vers 0 pour déterminer si la limite est + ou - l'infini.

    Et il y a une autre FI classique non évoquée : infini - infini.
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  6. #5
    FonKy-

    Re : Origine des formes indéterminées

    alors follium on connait plus ses cours de terminales ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Thorin

    Re : Origine des formes indéterminées

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message

    Comme le dit le titre, j'aimerais savoir d'où viennent exactement les formes indéterminées que l'on nous demande d'apprendre par coeur dans un cours sur les limites de fonction.

    Lorsque l'on démontre les résultats sur les limites, on a aucun mal à démontrer que si on a une fonction qui tend vers 0, et qu'on la multiplie par une fonction qui tend vers un nombre réel, alors, le résultat donnera 0 (je ne sais pas si tu connais la vraie définition de la limite, et non celle qu'on donne avant le bac).
    Cependant, pour certains types d'opérations, si on essaie de démontrer, on se rend simplement compte que...on n'arrive à rien démontrer.

    On appelle ces cas des formes indéterminées.

    Il est très facile de voir pourquoi, par exemple infini/infini est une forme indéterminée :

    si on prend la fonction x²/(x-1), alors, quand x tend vers l'infini, le numérateur et le dénominateur tendent tous les 2 vers l'infini, on a donc bien une forme indéterminée.
    Mais un rapide raisonnement montre que le total tend vers l'infini en l'infini.

    en revanche, si on prend la fonction (x-1)/x², on remarque que le numérateur et le dénominateur tendent toujours vers l'infini en l'infini, mais cette fois ci, le total tend vers 0.

    Ainsi, dans le cas de infini/infini, on n'arrive pas à démontrer un résultat général tout simplement car comme le montre mon exemple, la limite change selon la fonction à étudier. Il n'y a donc pas de résultat général, il faut déterminer la limite à la main. en attendant, elle reste indéterminée

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  10. #7
    danyvio

    Re : Origine des formes indéterminées

    Il existe aussi des formes moins connues comme 1
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  11. #8
    Weensie

    Re : Origine des formes indéterminées

    L'existence des formes indéterminées vient du fait que l'infini n'est pas si manipulable que cela dans la mesure où il existe une infinité d'infinis différents ( en taille ).
    Elle provient aussi du fait qu'en calculant une limite ,on approxime le compretement d'une fonction au voisinage d'un point précis , ce comportement pouvant varier du tout au tout aux infinis et au voisinage de 0 .
    .

  12. #9
    mystic_snake [Théo]

    Re : Origine des formes indéterminées

    Citation Envoyé par Weensie Voir le message
    dans la mesure où il existe une infinité d'infinis différents ( en taille ).
    il me semble pourtant qu'il n'y en n'a que 2 différents non?

  13. #10
    Thorin

    Re : Origine des formes indéterminées

    C'est indécidable....on ne sait pas.


    Mais ce que Weensie voulait dire, c'était plutôt qu'il y a une infinité de vitesse à laquelle on peut diverger vers l'infini, je pense

  14. #11
    Weensie

    Re : Origine des formes indéterminées

    Oui ! en effet
    .

  15. #12
    Romain-des-Bois

    Re : Origine des formes indéterminées

    Citation Envoyé par mystic_snake [Théo] Voir le message
    il me semble pourtant qu'il n'y en n'a que 2 différents non?
    Pourquoi n'y aurait-il que deux infinis ?

    et sont trois ensembles infinis, et on ne peut pas dire qu'ils soient en bijection !


    Romain

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  17. #13
    Weensie

    Re : Origine des formes indéterminées

    ils sont indénombrables a part N*
    .

  18. #14
    Médiat

    Re : Origine des formes indéterminées

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Pourquoi n'y aurait-il que deux infinis ?

    et sont trois ensembles infinis, et on ne peut pas dire qu'ils soient en bijection !


    Romain
    Attention à ne pas confondre les cardinaux infinis et le mot infini dans l'expression "la variable x tend vers l'infini", c'est à dire entre nombre et grandeur (pour faire pédant j'aurais pu écrire : ne pas confondre infini actuel et infini potentiel).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    Thorin

    Re : Origine des formes indéterminées

    Romain, pourrais-tu définir , s'il te plait ?

  20. #16
    Médiat

    Re : Origine des formes indéterminées

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    Romain, pourrais-tu définir , s'il te plait ?
    Ensemble des applications de IR dans IR.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #17
    Thorin

    Re : Origine des formes indéterminées

    Ah, effectivement, il parait dur d'établir une bijection de dans

  22. #18
    Seirios

    Re : Origine des formes indéterminées

    Mais comment les mathématiciens sont-ils arrivés à dire qu'une expression de la forme a plus de sens qu'une expression de la forme ? (je prends le cas de l'addition, c'est plus simple) Cela se trouve-t-il avec la définition formelle des limites ? Parce que dans le cas de l'addition, on peut montrer que la limite de [f+g](x) est égale à L+M...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  24. #19
    Thorin

    Re : Origine des formes indéterminées

    Aucune des deux expressions n'a plus de sens que l'autre, c'est juste qu'on sait que si on fait l'addition de deux nombres très grands, on obtiendra forcément un nombre encore plus grand.
    Alors que si on soustrait un nombre très grand à un autre nombre très grand, on ne peut pas directement dire ce que ça donne, ça dépendra des 2 nombres.

  25. #20
    Romain-des-Bois

    Re : Origine des formes indéterminées

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Attention à ne pas confondre les cardinaux infinis et le mot infini dans l'expression "la variable x tend vers l'infini", c'est à dire entre nombre et grandeur (pour faire pédant j'aurais pu écrire : ne pas confondre infini actuel et infini potentiel).
    Je ne crois pas avoir confondu quoi que ce soit Si ?

    J'ai lu quelque chose comme : "il me semblait qu'il y avait deux infinis" (ce que j'ai compris : soient trois ensembles comportant une infinité d'éléments, alors le troisième est en bijection avec un des deux autres), et c'est ce à quoi je répondais

  26. #21
    Seirios

    Re : Origine des formes indéterminées

    Aucune des deux expressions n'a plus de sens que l'autre, c'est juste qu'on sait que si on fait l'addition de deux nombres très grands, on obtiendra forcément un nombre encore plus grand.
    Alors que si on soustrait un nombre très grand à un autre nombre très grand, on ne peut pas directement dire ce que ça donne, ça dépendra des 2 nombres.
    Mais ce n'est pas un peu simpliste comme explication ? N'y en a-t-il pas une plus rigoureuse ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  27. #22
    Médiat

    Re : Origine des formes indéterminées

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Je ne crois pas avoir confondu quoi que ce soit Si ?

    J'ai lu quelque chose comme : "il me semblait qu'il y avait deux infinis" (ce que j'ai compris : soient trois ensembles comportant une infinité d'éléments, alors le troisième est en bijection avec un des deux autres), et c'est ce à quoi je répondais
    Le fil porte sur les formes indéterminées, la remarque
    Citation Envoyé par mystic_snake [Théo
    ]il me semble pourtant qu'il n'y en n'a que 2 différents non?
    me semble-t-il, signifiait que l'on ne considère, dans les cas des formes indéterminées, que +oo et -oo.

    La confusion initiale vient du post :
    Citation Envoyé par Weensie
    L'existence des formes indéterminées vient du fait que l'infini n'est pas si manipulable que cela dans la mesure où il existe une infinité d'infinis différents ( en taille ).
    Puisque dans le contexte des FI on ne traite que deux infinis potentiels, parler des infinis actuels ne m'a pas paru pertinent et pouvait engendrer des confusions.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  28. #23
    Médiat

    Re : Origine des formes indéterminées

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Mais ce n'est pas un peu simpliste comme explication ? N'y en a-t-il pas une plus rigoureuse ?
    Si, la définition des limites (je parle bien de la définition et non des notations), qui a aucun moment ne fait intervenir explicitement l'infini !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  29. #24
    Romain-des-Bois

    Re : Origine des formes indéterminées

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Le fil porte sur les formes indéterminées, la remarque
    me semble-t-il, signifiait que l'on ne considère, dans les cas des formes indéterminées, que +oo et -oo.
    [...]
    La confusion initiale vient du post :
    [...]
    Puisque dans le contexte des FI on ne traite que deux infinis potentiels, parler des infinis actuels ne m'a pas paru pertinent et pouvait engendrer des confusions.
    Ah d'accord... Mieux vaut éviter les confusions évidemment !

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  31. #25
    Romain-des-Bois

    Re : Origine des formes indéterminées

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Mais ce n'est pas un peu simpliste comme explication ? N'y en a-t-il pas une plus rigoureuse ?
    Si tu veux une explication rigoureuse, il faut (comme l'a dit Médiat) revenir aux définitions.
    Si f(t) tend vers l'infini quand t tend vers l'infini
    et si g(t) tend aussi vers l'infini quand t tend vers l'infini

    [quand je dis l'infini, c'est ]

    Ecrivons les définitions formelles :



    et



    Montrons que f+g tend vers l'infini en l'infini :

    Soit

    Posons

    Alors,

    et

    Posons

    Alors et

    Donc

    Bilan :
    Pour un quelconque, on a trouvé un tel que :


    id est : f+g tend vers l'infini !

    C'est plus rigoureux là

  32. #26
    Médiat

    Re : Origine des formes indéterminées

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    C'est plus rigoureux là
    Tout à fait igoureux, et, comme je l'annonçais, à aucun moment tu n'as eu à écrire qui du coup n'est plus qu'une notation bien pratique.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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