[TS+] Limites, formes indéterminées

[invite425270e0]

Sinon quelqu'un propose de l'aide pour la 3 d'Electrofred? La fameuse somme des sinus kx /x ? parce que je sèche :s
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[invitea250c65c]

Salut ! Pour la 3 :

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sin(kx)/x quand x tend vers 0 tend vers k (car sin(kx)/x = k sin(kx)/(kx) = Ksin(X)/X avec X =kx tend vers 0 quand x tend vers 0). Donc la somme tend vers la somme des k de 1 jusqu'à n (limite d'une somme = somme des limites), c'est à dire n(n+1)/2. Or ici le n (qui n'apparait pas explicatement dans la somme) tend vers + infini, donc on prend la limite de n(n+1)/2 en + infini, on trouve donc + infini.

[taladris]

Electrofred:

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tu calcules

alors que l'on demande ie

Ce n'est a priori PAS la même chose. Il faut que tu utilises un argument (théorème) pour pouvoir inverser deux limites.

[taladris]

Il manque à la deuxième ligne de mon précédent post.

[invite787dfb08]

Euhhh

Je profite du topic pour demander si certains utilisent le théorème des gendarmes parfois, parcequ'il me semble que c'est pas très bien vu par les profs....

+++

[invitec317278e]

Tant que c'est utilisé à bon escient, il n'y a aucun problème.

[invite425270e0]

@Electrofred: merci pour ton post, me reste un acte à lire de mon bouquin et j'étudie ça^^

@GalaxieA440: tu voulais parler du thm de l'hôpital plutôt non? ^^

[invitebfd92313]

Salut,
pour la somme des sinkx/x, la méthode à laquelle je pensais était celle donnée par electrofred (ce qu'il dit est exact, c'est juste qu'il n'était pas demandé de faire tendre n vers l'infini donc on peut s'arrêter au résultat en fonction de n)

[taladris]

EloctroFred parlait d'une somme d'une infinité de termes (cf message 19) d'où mes réflexions sur les interversions de limites.
Si on considère une somme d'un nombre fini de termes, effectivement c'est plus facile (et abordable en TS)

[invitea250c65c]

Electrofred:

tu calcules

alors que l'on demande ie

Ce n'est a priori PAS la même chose. Il faut que tu utilises un argument (théorème) pour pouvoir inverser deux limites.

Exact, ca risque d'être dur dur en TS en effet (enfin j'en sais rien mais ca ressemble a une fonction de 2 variables du coup : x et n , et on fait en quelque sorte une "double limite", bref, pas évident tout ça) ...
Bon je remplace ma limite 3 :

Réponse :

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n(n+1)/2

Désolé encore une fois (au moins ça nous aura fait cogiter ).

[invitebfd92313]

par contre je crois que c'était la limite des sinkx/k, le résultat est différent mais le raisonnement est similaire.

[taladris]

Le message #33 dit sin(kx)/x mais sin(kx)/k c'est intéressant aussi

[invite425270e0]

Lol tu nous auras fait faire trois bonnes pages Electrofred ^^

Une aide pour sin(kx)/k ?

[invite425270e0]

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On pose X=kx, avec x tendant vers 0, X tends vers 0
La limite sinX/X avec X vers 0 fait 1
le x devant tend vers 0 donc le tout tends vers 0.


Mais me reste un problème, comme on m'a déjà fait la remarque, n trucs qui tendent vers 0 ne font peut être pas 0...?

[invitec317278e]

Tant que n est fini, ça marche.
Là où ça se complique, c'est quand c'est une somme infinie de trucs qui tendent vers 0...c'est assimilable à une FI du type 0*infini

[invite787dfb08]

Autant pour moi ouais

En page 4 je voulais bien parler du théorèle de l'hopital ^^
Vous l'utilisez des fois ou alors faut au maximum essayer de faire sans ???

[invitec317278e]

Il ne fait pas partie de mon cours.

Un théorème qui ne fait pas partie du cours est à redémontrer si on l'utilise.

[invite425270e0]

C'est là que c'est dur^^
En fait le thm de l'hôpital est puissant, par contre :
il marche souvent mais les conditions sont précises, ces conditions sont presque toujours vérifiées, ce qui est dur c'est de démontrer que les conditions sont vérifiées...

(enfin je crois, à vérifier)

[invite8d322e93]

C'est très classique l'Hopital, c'est de l'exo de TD de base. Par contre je ne m'en suis jamais servi dans un problème plus construit.

[invite787dfb08]

C'est là que c'est dur^^
En fait le thm de l'hôpital est puissant, par contre :
il marche souvent mais les conditions sont précises, ces conditions sont presque toujours vérifiées, ce qui est dur c'est de démontrer que les conditions sont vérifiées...

(enfin je crois, à vérifier)

Ouais certes, mais bon le théorème de l'Hopital les profs savent qu'on le connait et bon la démonstration jveu bien la regarder mais je trouve "stupide" de la reposer alors que beaucoup de monde connait...

Enfin bon c'était juste pour savoir, personnellement je ne l'ai jamais utilisé, j'ai juste vu quelques exemples...

+++

[invite425270e0]

la limite en l'inf d'un quotient c'est la limite du quotient des dérivées du numérateur sur le dénominateur?

[invitebfd92313]

la démonstration de l'hopital repose sur un autre théorème qui n'est pasn on plus au programme (théorème de cauchy je crois mais je suis pas sur du nom), donc ce n'est rien d'évident, et je ne pense pas que beaucoup de monde la connaisse assez pour la ressortir efficacement dans un devoir.
Sinon en pratique on peut toujours faire autrement surtout que ses conditions d'application sont très précises.
Finalement, je pense que ca ne sert a rien de connaitre/utiliser ce théorème en sup.

[Guillaume69]

Bonsoir

la limite en l'inf d'un quotient c'est la limite du quotient des dérivées du numérateur sur le dénominateur?

Non :
La limite n'est pas forcément infinie.
Il faut que la dérivée du dénominateur ne s'annule pas en a.

la démonstration de l'hopital repose sur un autre théorème qui n'est pasn on plus au programme [...] je ne pense pas que beaucoup de monde la connaisse assez pour la ressortir efficacement dans un devoir.

La démonstration se fait avec le théorème des accroissements finis. Je suis en BCPST et on l'a démontré, donc en maths sup' je pense que c'est largement dans vos cordes
Quant à démontrer la règle de l'hôpital (5 minutes) pour un calcul de limite (peu de point) c'est pas très rentable...
A l'oral par contre, il vaut mieux la connaître.

[invitebfd92313]

ce n'est pas le théorème des accroissements fini qu'on utilise mais une généralisation qui porte le nom si mes souvenirs sont bons de théorème de cauchy, et on l'a en effet démontré en exercice mais ca ne fait pas partie du cours.

[FonKy-]

ce n'est pas le théorème des accroissements fini qu'on utilise mais une généralisation qui porte le nom si mes souvenirs sont bons de théorème de cauchy, et on l'a en effet démontré en exercice mais ca ne fait pas partie du cours.

tu es sur? moi j'aurai dis que le TAF découle de la formule de Taylor-Lagrange, rien de plus :X

[invitebfd92313]

Je parlais de la regle de l'hopital, mais je ne vois pas ce que vient faire taylor-lagrange dans le TAF oO

[FonKy-]

Je parlais de la regle de l'hopital, mais je ne vois pas ce que vient faire taylor-lagrange dans le TAF oO

et bien le TAF , c'est juste Taylor Young à l'ordre 1 :/ tout simplement

[FonKy-]

ou c est compris entre a et b.

Le TAF correspond au cas n=0 , soit la forme la plus simple. Et c'est là que tu te rend compte que le TAF n'est qu'une banalité =)

[invitebfd92313]

J'imagine que tu ne dois pas avoir pris les choses dans le meme ordre que moi, mais pour démontrer taylor-young et taylor-lagrange mon prof a utilisé le TAF (qu'il avait lui-même démontré par rolle). Alors je pense que tu dois démontrer taylor-lagrange autrement qu'en utilisant le TAF ?

edit : par contre je viens de me rendre compte que la formule de taylor-young avec reste intégral ne se démontre pas en utilisant le TAF (ou alors je ne vois pas où), donc ca peut être une solution, mais je crois que dans ce cas il faut que la fonction soit 2 fois dérivable alors que dans le TAF on ne la suppose que dérivable.

[Guillaume69]

Bonjour

Il n'y a pas besoin du théorème des accroissements finis pour démontrer Taylor-Lagrange.
On peut poser avec choisi tel que . Et on applique Rolle à g entre a et b

Pour Taylor-Young : on applique taylor lagrange à l'ordre (n-1). Après ce n'est que du calcul.