Dérivée sin(x) : demande d'explication

[invitecb6f7658]

Bonjour bonjour!

Je souhaiterais que vous m'expliquiez comment on passe de la première ligne de calcul à la suivante:


La limite de ce calcul pour tendant vers devrait démontrer que la dérivée de est .

Merci d'avance pour vos réponses...
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[Seirios]

Bonjour,

Je souhaiterais que vous m'expliquiez comment on passe de la première ligne de calcul à la suivante

Tu voudrais savoir pourquoi ? Dans ce cas, tu pourrais écrire plutôt , mais avec ; dans ce cas, on écrit plutôt dy et dx, pour des quantités infinitésimales.
Pour la suite du calcul, tu devrais regarder ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit...es_en_produits

On peut obtenir la dérivée en utilisant l'expression .

[Seirios]

Pour terminer le calcul, on pourrait dire que (puisque ) et , mais cela ressemble davantage à du bricolage qu'à un raisonnement mathématique rigoureux...

[invitecb6f7658]

Merci beaucoup pour les ID trigonométriques, je n'en avais jamais entendu parler. En ce qui concerne ma question, je me suis mal exprimé et ai très mal rédigé, ne trouvant pas le delta, mais c'est bien comme tu me l'a proposé que je comptais l'écrire au départ. Sinon, la question portait bien sur l'identité remarquable...
J'ignorais également qu'il était préférable d'utiliser dans certains cas plus que d'autres.

Je te remercie...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Il faut tout de même ajouter que, rigoureusement parlant, df est une application, une différentielle ; une interprétation courante est de parler d'un élément infinitésimal, mais ce n'est pas exactement le cas.

[invitecb6f7658]

Ok c'est noté et encore merci.

[Thorin]

Personnellement, je ne vois pas trop l'intérêt de passer par la différentielle pour ce calcul. Comme la fonction est à une variable, c'est la même chose que de dériver, sauf que tu maitrises bien mieux la dérivation.

Mais bon...

Pour terminer le calcul, on pourrait dire que (puisque ) et , mais cela ressemble davantage à du bricolage qu'à un raisonnement mathématique rigoureux...

Pourquoi pas ? après tout, le "dx" utilisé n'est qu'une notation, on peut agir dessus comme d'habitude avec les limites en 0. Et ensuite, je suppose qu'on peut aboutir avec les développements limités...



Petite remarque : ce sujet n'a définitivement rien à faire dans les maths du collège et du lycée.

[invitecb6f7658]

Actuellement dans le livre avec lequel je travaille on utilise la différentielle pour démontrer les règles de dérivation.

Pour ce qui est de la fin du calcul:



Donc pour , on a
lim lim
Un peu auparavant dans ce même livre, on démontre que lim pour
Ce qui simplifie le calcul en:
lim

PS: désolé pour la présentation des limites, j'arrive toujours pas à les rédiger correctement, si au passage vous pouviez me renseigner ...

[invite951d3e73]

Bonjour,

Un peu auparavant dans ce même livre, on démontre que lim pour

quand tu dérives de manière classique, tu peux aussi utiliser pour obtenir le résultat souhaité.

[Seirios]

Donc pour , on a
lim lim

Attention, il est dangereux d'écrire , car on ne sait pas si les limites sont finies.

PS: désolé pour la présentation des limites, j'arrive toujours pas à les rédiger correctement, si au passage vous pouviez me renseigner ...

\lim_{x \rightarrow a} donne

[invite951d3e73]

Attention, il est dangereux d'écrire , car on ne sait pas si les limites sont finies.

Je ne comprends pas, même si les limites ne sont pas finies on peut écrire ça non ? Il faut faire attention qu'un des deux limites ne soit pas égale à 0 quand l'autre n'est pas finie.

Par exemple,

Et pourtant les limites ne sont pas finies.

Si tu pouvais préciser

Merci.

[Seirios]

Il ne s'agit pas d'une divergence dans les résultats, mais, du moins il me semble, de rigueur dans la notation. Si, avec , tu écris , alors il faudra définir ce que signifi l'infini multiplié par l'infini.

[invite951d3e73]

Je comprends mieux, on ne peut pas vraiment manipuler "l'infini" comme un réel.

alors il faudra définir ce que signifie l'infini multiplié par l'infini

Comment peut-on définir un tel produit rigoureusement ?

Merci.

[Thorin]

alors il faudra définir ce que signifi l'infini multiplié par l'infini.

Ceci est défini.
On considère que , etc...les formes indéterminées n'étant pas, elles, définies.

[Thorin]

Pour terminer le calcul, on pourrait dire que (puisque ) et , mais cela ressemble davantage à du bricolage qu'à un raisonnement mathématique rigoureux...

Quant à ceci, je précise un peu ce que j'ai dit : plutôt que d'utiliser les DL, il est ici très simple et parfaitement rigoureux d'utiliser les équivalents.

[invitecb6f7658]

Cypher_2, c'est bien là ce qui m'a permis de calculer cette limite.

Phys2, merci pour la notation des limites.
Pour le produit de limites, je ne m'étais pas posé la question, je vais donc me fier à l'indication de Thorin. Cependant, pourquoi avoir fait cette remarque étant donné que est connue, enfin je veux dire, c'était juste une remarque de rédaction?

[Thorin]

Ca me fait penser...tu as dit tout à l'heure que ton bouquin démontrait cette limite... (sin(x)/x)...comment le fait-il ?
il encadre x par sin et tan ? si oui, comment prouve t-il l'encadrement ? de manière purement géométrique sans le démontrer ? sinon, comment fait-il ?

[Seirios]

On peut utiliser la règle de L'Hospital (puis démontrer la règle )

[invitecb6f7658]

En effet je me suis peut-être un fois encore mal exprimé, il s'agit comme tu l'as dit, de l'encadrement de par et et on part d'un encadrement de surfaces qu'on déduit du quart d'un cercle trigonométrique enfin, je pense que tu vois bien de quoi il s'agit.
Bien que géométrique n'est-ce pas une démonstration? La règle de l'Hopital fonctionne sinon, comme l'a indiquéPhys2?

[Seirios]

La règle de l'Hopital fonctionne sinon, comme l'a indiquéPhys2?

On a qui est une forme indéterminée ; pour ce genre d'indétermination (ainsi que ), on peut dériver le numérateur et le dénominateur, d'où .

Je crois que cette règle n'est pas très difficile à démontrer.

[Seirios]

En effet je me suis peut-être un fois encore mal exprimé, il s'agit comme tu l'as dit, de l'encadrement de par et et on part d'un encadrement de surfaces qu'on déduit du quart d'un cercle trigonométrique enfin, je pense que tu vois bien de quoi il s'agit.
Bien que géométrique n'est-ce pas une démonstration?

Tu pourrais détailler un peu les étapes de ta démonstration ? (t'occupe pas pour les détails, j'arriverai à les retrouver)

[invite951d3e73]

La règle de l'Hopital fonctionne sinon, comme l'a indiquéPhys2 ?

Sinon, tout dépend dans quel cadre tu veux démonter cette limite, si tu sais déjà que la dérivée de sin(x) est cos(x), alors tu peux remarquer que :



Et tu remarque c'est le nombre dérivé de sin(x) en 0, c'est à dire cos(0)=1.

Je trouve personnellement ça plus élégant que l'Hopital, mais je le répète, tout dépend du cadre

[invitecb6f7658]

Oui je suis d'accord avec ce que tu as écrit Phys2. cependant je souhaite savoir comment Thorin démontre l'encadrement. Moi j'avais trouvé ca super malin de partir de la figure

[invite951d3e73]

Tu pourrais détailler un peu les étapes de ta démonstration ? (t'occupe pas pour les détails, j'arriverai à les retrouver)

La méthode dont parle Apprenti-lycéen est celle de cet exercice je crois, à confirmer :

http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...hiers/DM11.pdf

[invitecb6f7658]

Oui le lien de Cypher_2 contient bien la méthode à laquelle je faisais référence.

[invitecb6f7658]

Cypher_2 pour revenir sur ce que tu as dit un petit peu plus haut, à la base, je cherchais juste à refaire la démonstration qui montre que la dérivée de est , donc si j'utilise ce que tu dis, je me mors la queue...

[Hamb]

On a qui est une forme indéterminée ; pour ce genre d'indétermination (ainsi que ), on peut dériver le numérateur et le dénominateur, d'où .

Je crois que cette règle n'est pas très difficile à démontrer.

le problème (et ca a déja été dit dans d'autres topics) c'est qu'en général pour démontrer la dérivabilité de sinus et cosinus ont utilise justement la limite de sinx/x, donc si on utilise la regle de l'hopital pour démontrer cette limite, c'est le serpent qui se mord la queue.

[invite951d3e73]

donc si j'utilise ce que tu dis, je me mors la queue...

Oui bien sûr, c'est pour cela que j'ai précisé, que cela dépendait du cadre

D'ailleurs, j'aimerais aller un peu plus loin à ce sujet, on "sait" qu'une notion est vraie, on souhaite juste démontrer qu'elle l'est : peut-on dans la démonstration même de cette notion, utiliser une conséquence qui résulte directement de cette notion ?

[Thorin]

Non : quand on fait ça, on dit qu'on se mord la queue.

[Thorin]

Sinon, pour la preuve de sin(x)/x, je connais celle là ; je me demandais juste s'il n'y en avait pas d'autres, pouvant par exemple se baser sur la concavité, ou je ne sais quoi...