Spé Math : Divisibilité

[invite610c3c06]

Bonjour,

Je me heurte actuellement à un exercice de spé math, j'ai regardé dans la liste des corrigés mais je n'ai rien trouvé.

Voici la consigne :

On nous demande premièrement de développer (a + b)³, facile, ensuite :

Démontrer que 3 divise a³ + b³ si, et seulement si, 3 divise (a + b)³.

Ils conseillent de le faire en deux étapes :
- démontrer que si 3 divise a³ + b³ alors 3 divise (a + b)³.
- et inversement, démontrer que si 3 divise (a + b)³ alors 3 divise a³ + b³.

J'ai essayé pas mal de choses dans les deux cas, mais sans succès, pouvez-vous me donner une piste à suivre.

Merci d'avance

Bamboum
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[invite1237a629]

Salut !

Utilise les indices qu'on te donne en remarquant que si 3 divise un nombre n alors il existe un entier k tel que n=3k

[invite610c3c06]

C'est ce que j'ai fais :

a³ + b³ = 3k,

Mais de là, comment passer à (a + b)³ = 3k' ???

[invite1237a629]

C'est ce que j'ai fais :

a³ + b³ = 3k,

Mais de là, comment passer à (a + b)³ = 3k' ???

Sers-toi du développement de (a+b)^3

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite610c3c06]

J'ai l'ai aussi fais :

a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ = 3k

Je désire avoir quelque chose de la forme :
a³ + b³ = 3k'

Je fais donc :

a³ + b³ = 3k - ( 2a²b + ab² + ba² + 2ab² )

Mais je ne parviens pas à factoriser le terme de droite pas 3.

[invite1237a629]

J'ai l'ai aussi fais :

a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ = 3k

Je désire avoir quelque chose de la forme :
a³ + b³ = 3k'

Je fais donc :

a³ + b³ = 3k - ( 2a²b + ab² + ba² + 2ab² )

Mais je ne parviens pas à factoriser le terme de droite pas 3.

C'est bien ce qu'il me semblait

2a²b+ba²=... ?
2ab²+ab²=... ?

[invite610c3c06]

C'était si simple que ça, merci beaucoup !!!!

[invite610c3c06]

J'ai donc réussi à prouver que si 3 divise (a + b)³ alors 3 divise a³ + b³.

Mais l'inverse me pose problème, prouver que :
si 3 divise a³ + b³ alors 3 divise (a + b)³.

Je pose :
a³ + b³ = 3k

Mais je bloque, avez-vous une idée ?

[invite2220c077]

Salut,

Comme t'alleurs, on utilise le développement de

Nous avons et par hypothèse . Tu conclus ensuite avec une propriété de ton cours .

[invite610c3c06]

Je vois quelle propriété de mon cours, merci.

Je vous tiens au courant !