Moyennes arithmétique et géométrique. (élève motivée ;-) )

zombrelina · 20/09/2008 - 11h33

Bonjour, je bloque sur quelques question d'un exercice, pouvez m'éclaircir un peu?
Merci par avance.

a et b sont deux reels tels que 0 inferieur à a inferieur à b. les suites (Un) et (Vn) sont définies par U(0)=a, V(0)=b et pour tout entier n: U(n+1)=racine(Un*Vn) et V(n+1)=(Un+Vn)/2
questions:
1) Prouver que, pour tout n, Un et Vn sont strictement positifs.
J'ai démontrer ce résultat par récurrence.
(Il me reste la rédaction à peaufiner)

2)prouver que, pour tout n,Un=( ou inferieur)Vn
Démonstration par récurrence également.
3) a)demontrer que pour tout n,V(n+1)-U(n+1)= (ou inferieur )(vn-un)/2

Là ça se corse un peu plus... A mon avis il faut démontrer le théorème par récurrence, mais je ne vois pas comment faire, du coup j'ai choisi une autre alternative qui me plaît moins.

$Vn+1-Un+1= \frac{Un+Vn}{2} - \sqr{UnVn}$
$= \frac{Un+Vn - 2\sqr{UnVn}}{2}$
Et la je suis bloquée...

b)Déduisez-en que $Vn-Un\leq \frac{1}{2^n}(b-a)$
Et bé aussi je suis bloquée...
4)Prouvez que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
On a vu que $Vn-Un\leq \frac{1}{2^n}(b-a)$ .
Or $lim \frac{1}{2^n}(b-a) = 0$
donc $lim Vn-Un \leq 0$
Or $Un \leq Vn$ donc $lim Vn-Un =0$
5) On suppose ici que a =2 et b =5.
Utilisez le résultat de la question 3) pour déterminer une valeur approchée de la limite commune "l" des suites 'Un) et (Vn) a 10^-3 près.
Et là aussi je suis coincée...

Merci par avance pour votre aide!

afolab · 20/09/2008 - 12h22

Pour 3a) ton idée est bonne

Un<=Vn dc Un²<=UnVn car Un>0
dc Un<=rac(UnVn) et -2Un>=-2rac(UnVn)
dc Un+Vn-2rac(UnVn)<= Un+Vn-2Un

afolab · 20/09/2008 - 12h29

Pour 3b) quand y=tu as prouvé 3)a)

Vn-Un<= (1/2) (V_n-1-U_n-1) <=(1/2)²((V_n-2-U_n-2) <=........<=(1/2)ⁿ(V₀-U₀)

Pour 4 il faut montrer que Vn décroissante et Un croissante et pas se contenter de montrer que lim(Vn-Un)=0

zombrelina · 20/09/2008 - 12h30

Oulaaa en effet! Merci beaucoup pour cette éclaircie!

Si jamais tu as une idée pour la suite...

zombrelina · 20/09/2008 - 12h36

Pour 3-b) je mettrais plutôt:
Vn-Un<= (1/2) (Vn+1-Un+1) <=(1/2)2((Vn+2-Un+2) <=........<=(1/2)n(V0-U0), non?
Mais penses tu que cela suffit pour le prouver?

afolab · 20/09/2008 - 12h42

Non c'est moi qui est raison puisque tu as prouvé que
Vn+1-Un+1<= (1/2) (Vn-Un) donc
Vn-Un<= (1/2) (Vn-1-Un-1) tu vas de n+1 à n puis de n à n-1 etc...je ne sais pas si tu me suis ?

çà suffit à le montrer

zombrelina · 20/09/2008 - 12h46

Ah oui! effectivement tu as raison! Je n'ai pas fait attention, merci beaucoup.
Pour la 4, je vais montrer qu'elles sont croissante et décroissante, à l'aide d'un théorème que j'ai dans mon cours.
Et pour la 5, je continue d'y réfléchir...

Thorin · 20/09/2008 - 12h52

Petite parenthèse : pas besoin de récurrence pour la 2.
on a :
$V_{n+1}-U_{n+1}=\frac{U_n+V_n-\sqr{U_nV_n}}{2}=\frac{ (\sqr{U_n}-\sqr{V_n})^2}{2}$
Or, c'est un carré, et un carré est toujours positif...
On en déduit $V_{n+1}>U_{n+1}$

afolab · 20/09/2008 - 12h57

petite erreur de frappe Un+Vn-2racine (UnVn) au numérateur

God's Breath · 20/09/2008 - 14h07

Envoyé par Thorin

Petite parenthèse : pas besoin de récurrence pour la 2.

Je me demande même comment on peut résoudre cette question par récurrence...

zombrelina · 20/09/2008 - 14h59

arf... je vous explique comment j'ai fait.

zombrelina · 20/09/2008 - 15h07

oups, erreure de manip. Donc je met ma démarche.
On peut montrer que pour tout n, Un<= Vn.
Nous allons montrer cela à l'aide du principe de récurrence.

Initialisation: Montrons que la propriété est vraie au rang n=0.
Pour n=0, U0=a, V0=b et a<b.
Donc U0<V0
La proposition est donc vraie au rang n=0.

Héréditié: Supposons que la propriété est vraie pour un certain rang n fixé.
On a: Un<Vn (hypothèse de récurrence)
Montrons que la proposition est vraie au rang (n+1) càd montrons que:
Un+1<= Vn+1
racUnVn<= Un+Vn/2
4UnVn<=(Un+Vn)²
2UnVn<=Un²+Vn²
(Un-Vn)²>=0
Ce résultat est tjrs vrai car le carré d'un nbe est tjrs positif, dc la proposition est vraie au rang (n+1)
la proposition est dc héréditaire.
Conclusion: on a dc prouvé d'après le principe de récurrence que un+1<= Vn+1, soit Un<=Vn

Et voilaaa

Et j'ai une question, pour la 4, pour montrer qu'elles sont décroissante et croissante, ai-je le droit de dire que:
On sait que Un<= Vn, donc
U est la suite croissante et V la suite décroissante? Ou il faut que je l'explique un minimum? Car je n'ai pas d'idée pour le montrer...

Thorin · 20/09/2008 - 15h12

C'est ce à quoi je m'attendais : ton raisonnement par "récurrence" ne fait PAS appel à l'hypothèse de récurrence...Autrement dit, ça ne sert à rien de faire un raisonnement par récurrence.

Et pour la question 4 : tu dois expliquer.

afolab · 20/09/2008 - 15h15

çà ne va pas,
tu as montré que si Un<=Vn alors (Un-Vn)^2>=0 et alors...????
Tu n'as pas montrer que si Un<=Vn alors Un+1<=Vn+1

zombrelina · 20/09/2008 - 15h18

Ah zut alors!
Pourquoi n'est ce pas le principe de récurrence? Pourtant j'applique bien la méthode, et je le montre bien?
Pff de toute manière je ne comprend pas les suites (pour ne pas dire les maths en général ...)