équation + carré parfait

[thomas3400]

Je suis en seconde et voici un exercice que je n'arrive pas à faire jusqu'au bout. (j'utilise le point (.) pour la multiplication)

Soit quatre entiers naturels consécutifs n, n+1, n+2, n+3

1. Vérifier que (n+1)(n+2) = n(n+3) + 2
Là j'ai trouvé :
(n+1)(n+2) = n² + 2n + n + 2 = n² + 3n + 2
n(n+3) + 2 = n² + 3n +2

2. On pose (n+1)(n+2) = a ; Exprimer en fonction de a, p = (n+1)(n+2)(n+3)
Là j'ai trouvé :
p = n . a . (n+3)

3. En déduire que (p+1) est le carré d'un entier (carré parfait)
Là je trouve pas... je pense qu'il faut montrer que c'est une identité remarquable mais j'arrive pas à le démontrer... je pense aussi à utiliser la question 1 mais toujours pas...

4. Déterminer n sachant que p = 5040
Et là je trouve pas non plus, peut être qu'il me faut le résultat d'avant pour pouvoir trouver cette réponse...


Merci de votre aide !

Thoms3400
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[God's Breath]

Ne faudrait-il pas lire , ce qui conduit, du fait que , donc , à d'où une expression simple de .

[thomas3400]

Merci bcp ! Mais ya juste une étape que je comprends pas :
n(n+3) = (n+1)(n+2) -2

{
EDIT : C'est bon je comprends là : il suffit juste développer et on voit que c'est bien égal !
}

Par contre pour la suite c'est bon, j'ai compris :
p = a(a-2)
p = a² - 2a
p+1 = a² - 2a + 1
On reconnaît une identité remarquable
p+1 = (a-1)²
Et après on peut dire que, comme p+1 est une identité remarquable avec que des entiers naturels, p+1 est le carré d'un entier (carré parfait)

c'est ça .... ?

[God's Breath]

Mais ya juste une étape que je comprends pas :
n(n+3) = (n+1)(n+2) -2

N'as tu pas prouvé que (n+1)(n+2) = n(n+3) + 2 ? Il n'y a pas besoin d'un nouveau calcul.

Pour le reste c'est bon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[thomas3400]

Et maintenant, déteminer n en sachant que p = 5040...

[God's Breath]

p = 5040
p+1 = 5041 qui est le carré de ???
puis on calcule a, et enfin n.

[thomas3400]

p = 5040
p+1 = 5041 = 71²

donc

(a-1)² = 71²
a-1 = 71
a = 72

(n+1)(n+2) = 72
8x9 = 72
(7+1)(7+2) = 8x9 = 72

n=7 !!!!!!!!

Merci beaucoup !!! Ca fait du bien d'écrire cette dernière égalité ! Encore merci !

Thomas3400