Un Carré Parfait...?!

[invite4dc78ee9]

Salut,
L'exercice qui va suivre, extrait du test 2005 à LLG, est l'exercice le plus difficile du sujet, comme le précise d'ailleurs l'énoncé.
En outre, sa résolution semble...impossible.
j'ai cherché dans le dictionnaire la definition du terme '' carré parfait ", pour trouver que c'est tout nombre comme 1, 4, 9, 16 etc...
Mais ça n'a pas été fructueux...
Pourrez-vous me donner des indications ?
Merci d'avance pour votre support...

Soit a un entier de N. On d´efinit la suite u(n) par u0 = a et la relation de recurrence
u(n+1) = u(n)+E(√u(n)). ( E de racine de u(n))
Montrer qu’il existe une infinité d’indices n pour lesquels u(n) est un carré parfait.
Rappel :Si x est un r´eel, E(x) d´esigne la partie enti`ere de x, c’est-à-dire l’unique entier n tel que
n < = x < n + 1.
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[Romain-des-Bois]

Salut,
L'exercice qui va suivre, extrait du test 2005 à LLG, est l'exercice le plus difficile du sujet, comme le précise d'ailleurs l'énoncé.
En outre, sa résolution semble...impossible.
j'ai cherché dans le dictionnaire la definition du terme '' carré parfait ", pour trouver que c'est tout nombre comme 1, 4, 9, 16 etc...
Mais ça n'a pas été fructueux...
Pourrez-vous me donner des indications ?
Merci d'avance pour votre support...

Soit a un entier de N. On d´efinit la suite u(n) par u0 = a et la relation de recurrence
u(n+1) = u(n)+E(√u(n)). ( E de racine de u(n))
Montrer qu’il existe une infinité d’indices n pour lesquels u(n) est un carré parfait.
Rappel :Si x est un r´eel, E(x) d´esigne la partie enti`ere de x, c’est-à-dire l’unique entier n tel que
n < = x < n + 1.

C'est quoi ce test ?

[invite4dc78ee9]

Salut,
c'est un test pour rentrée en MPSI à LLG, seulement pour les etrangers.

[GuYem]

Il casse la tête ton exercice Page!
Il avait déjà été posté mais de manière assez maladroite donc fermée par Rincevent.
Je ne sais pas par où commencer, tu as un début de piste?

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

j'ai commencé à chercher en introduisant une suite auxilliaire comme ou de sorte que la question revient à démontrer que ces suites s'annulent une infinité de fois. Je n'ai toutefois encore rien de probant.

Je me demande aussi s'il n'y a pas à un moment ou à un autre un argument alla Fermat, du style il n'existe pas de suite d'entiers positifs strictement décroissantes.

Mais bon pour l'instant, je suis au stade de la spéculation.

Cordialement.

[inviteca3a9be7]

Salut,


Tiens, il apparaît "partout" cet exo là

http://www.maths-forum.com/showthrea...4638#post24638

[invite4dc78ee9]

merci á martini-bird; bien votre idee semble prometteuse ( du moins on peut commencer par resoudre ! ); mais vraiment cet exo est un peu ... trop difficile!
Et voila la question : par oú commencer?
moi meme j'ai essayé de raisonner par recurrence mais ca pas marche...

[leg]

petite question et excuser si je dis une bêtise, mais est ce que cela ne srait pas en rapport avec les nombre prmier 4k + 1 qui sont somme de deux carrés, 17 =4²+1², 41 =5²+4² ...il y en a une infinité, démontré je crois par Fermat ou Euler.

je ne comprend que cela:
(Montrer qu’il existe une infinité d’indices n pour lesquels u(n) est un carré parfait.)

pour moi cela voudrai dire: montrer que la suite u(n) a une infinité de carrés...est ce cela?
donc la suite 1² +3 = 2², + 5 = 3², +7 = 4² +(n+2) = N² +1
il existe une infinité d'entiers n impair.
N² + (n+2) = N²+1
si le nombre d'indices n est fini le nombre de carrés aussi donc il n'y a pas une infinité d'impairs....mais cela parait tellement idiot que je pense, ne pas avoir compris le sens de la question. A+

[GuYem]

Je crois que tu n'as en effet pas compris le sens de la quetion! D'ailleurs je n'ai pas non plus compris ce que tu as écrit ^^

Içi il faut montrer que dans la suite u(n) définie au premier message il y a une infinité de carré.

[Sylvestre]

Salut à tous,

il faut peut-être partir comme cela. Il y des zones où E((u_k)^(1/2)) est constant égal à n. C'est quand n^2<=u_k<(n+1)^2.

Ensuite, on peut montrer que si u_k=n^2+r avec 0<r<=n+1, alors u_{k+1}=n^2+n+r et
u_{k+2}=n^2+2n+r=(n+1)^2+(r-1). Ainsi, lorsque l'on est passé dans la zone suivante (où la partie entière de la racine carrée est n+1) alors u_{k+2}=(n+1)^2+(r-1). Donc l'écart au carré le plus proche a diminué de 1. Je pense que l'on doit pouvoir dire que lorsque l'on arrive dans la prochaine zone, l'écart sera r-2 ,etc ... jusqu'à zéro.
Comme cela, on montre qu'à partir de n'importe quel nombre, on finit par tomber sur un carré et donc il devrait y en avoir une infinité dans la suite.
Est-ce que vous pensez que je vais y arriver en faisant comme cela ?

Sylvestre

[leg]

GuYen, [Je crois que tu n'as en effet pas compris le sens de la quetion! D'ailleurs je n'ai pas non plus compris ce que tu as écrit ^^]
je ne vois pas ce qu'il y a de difficile a comprendre? 1 = n; 1 au carré + (n + 2) te donne toujours le prochain carré parfait c'est a dire : 2² = 4..(n + 2) +2 = 5 , 2² +5 = 9 =3² etc
ce qui revien a dire, que n'importe quel nombre impair + 2 que tu additionnes au dernier carré parfait, te donne le suivant ,11+2=13, le dernier carré = (13-7)² =36, 36+13 =49 = 7²
mais effectivement il ne parle pas de cette suite...tel qu'elle est définie.

[inviteab5a47d4]

Bonjour,
Voilà quelque chose que j'ai remarqué:
Prenons, par exemple, a = 10.
Le premier carré parfait est à n = 2 :
u(0) = 10
u(1) = 13
u(2) = 16 = 4²
Le second est à 8 + 1 itérations en plus:
u(3) = 20
(...)
u(11) = 64
Le troisième est à 16 + 1 itération en plus:
u(27) = 256
Le quatrième est à 32 +1 itération en plus:
u(60) = 1024

Prenons un autre exemple: pour a = 2398
u(0) = 2398
u(91) = 8836
u(91 + 188 + 1) = 35344
u(91 + 188 + 1 + 2x188 + 1 ) = 141376
u(91 + 188 + 1 + 2x188 + 1 + 4x188 + 1 ) = 565504

De façon empirique, j'en déduis que:
Si u(n) = a est un carré parfait, u(n + 2√a +1) est un carré parfait.
De même que u(n + 2√a +1 + 4√a +1) est un carré parfait et ainsi de suite.

L'idée serait peut être de montrer que pour u(0) = a, la suite u(n) admet un carré parfait. Puis qu'elle en admet d'autres qui apparaissent suivant une logique...

[justine&coria]

Sylvestre a donné la solution. Enfin, moi, j'ai cherché, j'ai fait à peu près comme Sylvestre et j'en vois pas d'autres.
Parce que de toutes façons Derfyd, pour prouver qu'on arrive de toutes façons à un carré parfait, il faut revenir à la méthode de Sylvestre.

[justine&coria]

Bon, je vais essayer de mettre en forme une solution (partielle). Et je me rend compte que c'est assez dur d'être clair!! :
Remarque : j'ai pas mis les "inférieurs ou égal", j'ai juste mis "<". Ca facilite la lecture et c'est moins chiant pour moi. Donc vous corrigez vous-même.

Si u₀=a=0, la réponse est triviale car tous les u_n sont nuls et 0 est bien un carré. (le carré de 0)

2e cas : u_n>0. 1) Montrons d'abord l'existence d'un carré dans la suite (u_n)

- Il est simple de montrer que la suite (u_n) est une suite d'entiers naturels strictement croissante.
- Il existe donc un moment, une valeur de n, où lors du passage de u_n-1 à u_n, on "dépasse" un carré x², c'est-à-dire : u_n-1<x² et u_n>x²
- u_n = u_n-1+E(rac(u_n-1)) avec E(rac(u_n-1)) entier inférieur (ou égal) à x, d'après la "définition"-même de E(rac(u_n)).

- Des 2 points précédents, on déduit que u_n<x²+x et u_n peut donc se mettre sous la forme u_n=x²+k avec k entier naturel de [0,x]
- . si k=0, u_n=x² et on a montré l'existence d'un carré dans la suite.
- .. si k>0, c-à-d, k est un entier de [1,x], on a successivement :
- .. * u_n=x²+k < x²+x < x(x+1) donc E(rac(u_n)=x
- .. ** u_n+1=x²+x+k < x²+2x < x²+2x+1=(x+1)² (inférieur strictement) donc E(rac(u_n+1)=x
- .. *** et u_n+2=x²+2x+k=x²+2x+1+(k-1) soit u_n+2 = (x+1)² + (k-1)
- .. **** On voit bien que maintenant, on est plus près d'un carré qu'avant. Avant on était à x²+k, maintenant, on est à (x+1)²+(k-1), après ce sera (x+2)²+(k-2) jusqu'à (x+k)²+0=(x+k)². Il existe plusieurs façons de prouver que finalement, on arrive toujours à un carré. Le bon sens (comme je viens de le faire) suffit, mais bon, je vous laisse rédiger.

On a donc prouvé l'existence d'un carré parfait dans la suite (u_n ).

Pour prouver qu'il en existe une infinité, du simple bon-sens suffit aussi. En effet, dès qu'on a un carré x². Le terme suivant c'est x²+x (ici k=x) et ce qu'on a écrit avant permet de justifier l'existence d'un carré suivant. Et d'un suivant. Il en existe donc une infinité.