Spé maths : diviseurs (exo sortant de l'ordinaire)

[invite6db5b418]

Bonjour à tous et à toutes !! Voilà, j'ai un devoir maison à rendre pour dans une semaine, et notre prof nous a donné une sorte de "prolongement d'exercice" qui n'est pas du tout dans le programme mais il nous donne un 20 si on trouve la réponse

Voilà, donc je pense que ça peut être un petit challenge pour certains d'entre vous (si vous êtes sur ce forum, c'est que ça doit être votre truc, les p'tits défis mathématiques ) et puis comme ça vous ferez une bonne action

Donc je vous expose le problème, très simple au premier abord : on cherche à trouver tous les entiers naturels p qui vérifie l'affirmation suivante : "si p divise a² + b² alors p divise a et p divise b".

Par exemple cela fonctionne pour 7 car a et b peuvent s'écrire de la forme 7q + r (division euclidienne) avec 0=<r<7

Les valeurs de r sont donc 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. a²=7q₁² + 2x7q₁r₁ + r₁² et b₂ idem en changeant les indices 1 par des indices 2.

Or la première partie est divisible par 7, donc si a² + b² est divisible par 7, cela signifie que r₁² + r₂² est divisible par 7. Et les seuls restes qui vérifient cela sont 0 et 0 (puisque 0 est multiple de tout entier) donc a et b sont tous deux divisibles par 7

Alors j'ai essayé de trouver d'autres nombres similaires et j'ai pour l'instant une petite liste : {1;3;7;11;19;21;23;47). Tous les nombres premiers de forme 4p + 1 sont exclus puisque ils sont la somme de carrés, mais en revanche, tous les autres sont compris (je les ais pas tous testés jusq'à 47, mais ceux que j'ai testé ont fonctionné). 21 quant à lui est pour le moment le seul non-premier de la liste.

Et je n'arrive pas non plus à prouver que aucun nombre pair ne peut vérifier cela (mais j'ai quelques idées, un nombre pair étant divisible par deux, il peut être la somme de deux carrés identiques, ce qui réduit fortement les chances).

Bref, j'en suis encore aux tatonnements donc si vous avez ne serait-ce qu'une idée de piste, voir même un petit mot d'encouragement (ça fait toujours plaisir ) ben ce serait super sympa. Et n'hésitez pas à me le dire si j'ai été peu clair sur un point (c'est souvent en expliquant la question qu'on arrive à trouver la solution).

Je vais moi-même bien evidemment chercher de mon côté et donc je vous tiendrai au courant (enfin, sauf si personne ne s'intéresse à moi, auquel cas je mourrai seul dans la détresse...)

En espérant n'avoir pas trop usé de votre précieux temps, je vous souhaite une bonne soirée !
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[Arkangelsk]

Salut,

Donc je vous expose le problème, très simple au premier abord : on cherche à trouver tous les entiers naturels p qui vérifie l'affirmation suivante : "si p divise a2 + b2 alors p divise a et p divise b".

Je ne trouve pas ça tout à fait clair ...

[invite0c91ba98]

je vais nous simplifier la vie et je demanderais la reponse a mon prof de maths demain je te donnerais la reponse

[MMu]

Attention, ta liste est incomplète. Par ex 6 satisfait la propriété ..
Est ce que si l'on trouve tu partages le 20 de ton prof . ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

6 ne satisfait pas : 6 divise 15² + 15² = 450 mais il ne divise pas 15

[MMu]

L'attention de MMu est nulle
Evidemment que les nombres pairs ne satisfont pas , puisque divise , mais ne divise pas ...

[invite6db5b418]

J'ai réussi à prouver que p est impaire, qu'il n'est pas divible par un carré (il est donc le produit de nombres premiers distincts) et qu'il n'est pas divisible par un nombre premier de forme 4n + 1 : il est donc le produit de nombres premiers (distincts) de forme 4n + 3.

On a donc tous les nombres entiers de la forme 4n + 3 (3, 7, 11, 19, 47) mais aussi leurs produits (21, 33, 77) ou les produits de leurs produits (3*11*7) (mais toujours avec des nombres entiers distincts).

Et 1 est considéré par convention comme le produit de zéro nombres premiers de cette forme (vu qu'il est la forme neutre de la multiplication).

Cependant, je n'arrive pas à prouver que tous les produits de ces nombres premiers distincts de forme 4n + 3 sont solutions (seulement qu'ils sont les seules solutions possibles)...

Donc si vous pouviez me venir en aide... :s