Fonction racine carrée de x

[inviteb00cc81e]

Bonjour,

j'aimerai comprendre pourquoi la fonction racine carré de x (Vx) existe en 0 (V0=0 sur une calculatrice), mais n'est pas définie en ce point (intervalle ouvert en 0 pour l'ensemble de définition).
Pouvez-vous m'aider à comprendre cela s'il vous plaît car je n'ai pas d'explication précise?
Peut-être une histoire avec la dérivée?

Je vous remercie par avance de votre aide.
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

Il y a une confusion entre le domaine de définition et le domaine de dérivation.

En effet, comme tu le dis si bien, la fonction est définie en zéro (donc le domaine de définition est l'intervalle et elle vaut zéro mais elle n'est pas dérivable en zéro et c'est là que l'intervalle est ouvert en zéro.

Duke.

[inviteb00cc81e]

Merci de ta réponse rapide.
En effet, j'ai tout confondu.
Mais pourquoi cette fonction n'est pas dérivable en zéro? En fait, je pensais que n'importe quelle fonction était dérivable sur son ensemble de définition : si une fonction f est continue et dérivable sur D, alors f est dérivable sur D.
Est-ce l'exception qui confirme la règle?
Et est-ce la seule fonction ayant cette exception?

Merci de ton aide.
Spiffou

[Gwyddon]

Bonjour

Mais pourquoi cette fonction n'est pas dérivable en zéro? En fait, je pensais que n'importe quelle fonction était dérivable sur son ensemble de définition

Oh que non ! Deja la fonction doit au minimum etre continue. Ensuite meme une fonction continue peut connaitre des points ou la derivee n'existe pas. Avant de t'eclaircir dessus je reviens sur un truc que tu as ecrit :

: si une fonction f est continue et dérivable sur D, alors f est dérivable sur D.

En substance tu viens d'ecrire : "si f est derivable sur D alors f est derivable sur D". Bref une evidence


Il faut en fait que tu te rendes compte que la derivabilite est une condition forte sur une fonction. Les fonctions les plus generales ne sont ni continues, ni derivables pour commencer.

Ensuite parmi toutes ces fonctions, il en existe qui sont continues.

Ensuite, dans l'ensemble des fonctions continues, il en existe une partie qui en plus sont derivables.

Etc...

Donc plus tu imposes de conditions a ta fonction plus le nombre de fonctions verifiant ces conditions se reduit (note aux puristes : merci de ne pas compliquer mon propos en me parlant d'equipotences d'ensembles infinis )


Pour construire une fonction continue en un point a mais non derivable en a, ce n'est pas complique il suffit que tu dessines une fonction qui a une tangente verticale en a (ce qui est precisement le cas de la fonction racine en zero)

Donc tu vois que c'est un comportement assez commun finalement

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb00cc81e]

Merci pour toutes vos réponses!

Je retiendrai que toute fonction qui a une tangente verticale en a n'est pas dérivable en a même si elle est continue.
Et dans les fonctions de base jusqu'au niveau Terminale, seule la fonction racine carrée remplie cette condition.

[Gwyddon]

Tu peux aussi avoir des cas ou la derivee a gauche et la derivee a droite en un point b ne sont pas egales, ce qui signifie aussi que la fonction n'est pas derivable en b.

Un exemple : la fonction "valeur absolue"