TS maths spé; DM divisibilité

[Wrena]

Bonjour;
j'ai un devoir maison à rendre pour la rentrée mais j'ai du mal avec deux des exercices ... Alors si vous pouviez m'aider se serai super.

Exo1
Pour tout entier n>(ou égal)1, on pose
U_n=1!+2!+...+n!
On donne la décomposition en facteur premiers des dix premiers termes de la suite (U_n) :
U₁=1
U₂=3
U₃=3²
U₄=3*11
U₅=3²*17
U₆=3²*97
U₇=3⁴*73
U₈=3²*11*467
U₉=3²*131*347
U₁₀=3²*11*40787

1) Montrez que U_n n'est jamais divisible ni pas 2, ni par 5, ni par 7.
Pour cette question je voit bien que les facteurs premiers ne sont jamais 2, 5 et 7 mais je ne voit pas comment je peux le démontrer.


2) Peut on affirmer que U_n est divisible par 11 à partir d'un certain rang ?
Idem pour cette question, cela se voit mais comment le démontrer ?




Exo2
1) Soit p un entier naturel. Montrer que l'un des trois nombres p, p+10, p+20, et seulement l'un des trois est divisible par trois.
Pour cette question j'ai montrer qui si l'un des trois était divisible par trois les deux autre ne l'étaient pas. Mais je ne voit pas comment montrer que l'un des trois l'est forcement. (par contre je le voit bien si j'écris la liste des nombres)

2) Les entier naturels a,b,c sont dans cet ordre les trois premiers termes d'une suite arithmétique de raison 10. Déterminez ces nombres sachant qu'ils sont premiers
On a donc si je ne me trompe pas a+10=b et a+20=c. Donc ce n'est pas en contradiction avec la première question ?

3) Soit (E) l'ensemble des triplets d'entiers relatifs (u;v;w) tels que 3u+13v+23x=0
Montrer que pour un tel triplet v est congru à w modulo 3
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[bubulle_01]

Bonjour,

Je n'ai pas encore regarder le second exercice, mais pour le premier :
Pour le cas de 2 :
1 est impair. Tu ajoutes par la suite que des nombres pairs, la somme sera donc ?
De la même manière pour 5 :
est il divisible par 5 ? Pourtant, après on ajoute que des nombres divisibles par 5, vu que 5 interviendra dans la factorielle. Tu peux donc en déduire la divisibilité par 5.
Même chose pour 7 et 11.

[Wrena]

Comment sais tu que tu n'ajoute que des nombre paire ? est ce toujours le cas avec des factoriel ?

[bubulle_01]

Pour l'exo 2 :
Première question :
Réflechis selon le reste de la division par 3 de p.

Pour la deuxième question, ta remarque est judicieuse, mais on peut très bien trouver un entier premier divisible par 3, attention.

Pour la dernière question, réflechis à quoi est congru modulo 3, modulo 3 etc ...
Somme ensuite les restes, somme qui est par hypothèse congrue à 0 modulo 3, et tu verras apparaître le résultat recherché.

EDIT: réponse à ta question :
Pour un entier ,
Est ce divisible par 2 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Wrena]

Merci
pour l'exo 2 c'est bon j'ai compris il ne reste plus qu'à rédiger.

Par contre exo 1 j'ai encore une petite question
pour la divisibilité par 11 dès que 11 intervient dans la factorielle je peux affirmer que U_n est divisible par 11.
Mais dans la décomposition en facteurs premiers on voit que U_n est divisible par 11 avant ... pourquoi ?

edit : en fait je viens de trouver mon erreur car des termes sont divisible par 11 avant U₁₁ mais pas à partir de ce nombre . Donc c'est bon j'ai compris merci beaucoup pour ton aide

[bubulle_01]

Tu vois bien que est une somme.
Tu peux faire apparaitre n'importe quelle nombre en additionnant.

Le fait est que
On voit donc clairement que si est divisible par alors sera divisible par car est un multiple de , et par réiteration, tous les autres termes seront divisibles par .

[Wrena]

Merci beaucoup de m'avoir aider!