Bonjour, je voudrais qu'on vérifie mes réponses et qu'on m'aide pour deux petites questions svp. Voici l'énoncé:
f est la fonction définie sur R par: f(x)=(x^4)/4 -(3/2)x²+4x
1)a) Calculer la dérivée f ' de la fonction f.
b) Calculer la dérivée seconde f " de f.
2)a)Déterminer les variations de la fonction f '.
b)Dresser le tableau de variation de f '. Prouver que l'équation f'(x)=0 admet une solution unique c et que cette solution appartient à l'intervalle ]-inf;-1].
c)Donner un encadrement de c d'amplitude 10^-2.
3)a) Déterminer le signe de la fonction f '.
b)Dresser le tableau de variation de la fonction f.
c)Montrer que f(c)=(3c(4-c))/4
d)Déterminer le nombre de racines du polynôme f.
Voici mes réponses:
1)a)f '(x)=x^3-3x+4=x(x²-3+4/x)
b)f "(x)=3x²-3=3(x²-1)
2)a)Est-ce que je peux directement la faire dans le tableau de variations? Si non, comment?
b)3>0
x²-1=0 <=>(x-1)(x+1)=0
x=-1 ou x=1
donc f " est positive à l'extérieur des racines
]-inf;-1] > positive
[-1;1] > négative
[1;+inf[ > positive
donc f '(x) est croissante sur ]-inf;-1], décroissante sur [-1;1] puis croissante sur [1;+inf[.
f '(-1)=6, f'(1)=2
lim x>-inf de f '(x)=-inf / lim x>+inf de f '(x)=+inf
f'(x)=0
Sur ]-inf;-1] f ' est continue et strictement croissante. 0 appartient à ]-inf;-1] car 6>0 donc l'équation f '(x)=0 admet une solution sur ]-inf;-1].
Sur [-1;1] f ' est continue et strictement décroissante mais 0 n'est pas compris entre 6>0 et 12>0 donc f '(x)=0 n'admet aucune solution sur [-1;1].
Sur [1;+inf[ f ' est continue et strictement croissante mais 0 n'appartient pas à [12;+inf[ car cet intervalle est strictement supérieur à 0.
Donc l'équation f '(x)=0 admet une solution unique c appartenant à ]-inf;-1].
c) -2.20<c<-2.19
3)a) f '(x) < 0 sur ]-inf;-1]
f '(x) > 0 sir [c;+inf[
b)f décroissant sur ]-inf;c] puis croissant sur [c;+inf[.
c) bloqué
Merci d'avance.
-----
admet une unique solution tu dis que 0 appartient à 