Equation de Pythagore Tle S Spé

[stephane-roma]

bonsoir a tous,
N'ayant encore aucun savoir sur l'équation de pythagore, il m'est difficile de résoudre quelques questions demandées par mon professeur...
Pourriez-vous m'apporter de l'aide ...?

1) Soit l'équation (E) : x²+y²=z². Justifier que pour résoudre (E), il suffit de résoudre : (E') : a²+b²=c², où a, b et c sont des entiers naturels non-nuls ayant pour pgcd 1.
=> Rien ne me vient à l'esprit ...

2) Soit (a,b,c) un triplet d'entiers naturels non nuls de l'équation de (E').
Supposons que a et b soient impairs. Justifier alors que a²+b² est congru a 2(mod4). En déduire que nécessairement un des 2 entiers a ou b est pair.
=> Pour cette question, j'ai pensé a faire un tableau mod4, avc des entiers naturels ( non nul) puis faire une ligne où on ferai leur somme, et ainsi je pourrai montrer que la somme de leur carré est congru a 2mod4... Est-ce judicieux ??

( J'ai encore quelques questions en rab pour les gourmants)

Merci d'avance pour votre aide.

[Mindyla]

Bonjour, je ne peux faire tout l’exercice car je ne fais pas spécialité maths, en revanche, je peux d’apporter des outils pour t’aider (moi, je suis en Term S spécialité Physique-chimie).

Si (E) : x²+y² = z² est l’équation de Pythagore, on peut dire que cela revient à résoudre :
c² = a²+b² - 2ab cos (&) d’après le théorème d’Al Kashi

Or si ton triangle est rectangle, &= 90° d’où c²= a²+b²
car 2ab cos (&) = 0, avec a, b, c non nuls.

Pour ce qui est du reste, voilà ce que je te propose d’utiliser :

- Le théorème de Bézout :

Deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux ssi il existe au moins deux entiers naturels relatifs u et v tq au + bv = 1.
Soit trois entiers naturels a, b et c quelconques non nuls :

Si PGCD (a;b) = 1 et PGCD(a ;c) = 1, alors PGCD(a;bc) =1

- Théorème de Gauss :

Soit trois entiers a, b, c quelconques non nuls :

Si c divise ab et PGCD(c;a) = 1 alors c divise b.

Concernant la congruence :

Soit n un entier naturel, on dit que 2 entiers relatifs a et b sont congrus modulo n pour exprimer que n divise a-b. n s’appelle le module de la congruence.

Si n=1, la relation a =* b [n] est vraie quelque soient a et b

*normalement on doit écrire « 3 traits»

Si n= 0 la relation ci-dessus se réduit à a=b et n’apporte rien à nouveau.

Voilà, je suis désolée de ne peut pas pouvoir plus t’aider par faute de ne pas avoir suivi le programme de spé maths (je préfère la chimie ).

[James69]

je c pas dou tu c ca vu kon le fait ken spe math
pr le premier truc c simple
tu dis ke x²=X y²=Y z²=Z donc X+Y=Zdonc tu divise tt par leur plus grand diviseur commun au 3 de sorte acke tobtiennes apres A+B=C AVEC A=a² B=b² ET C=c² PREMIERS ENTRE EUX donc a² b² et c² premiers entre eux et a²+b²=c²

[James69]

pr la 2 c une mauvaise idee
jte conseille plutot de dire a=2k+1 et b=2q+1 dc a²=4k²+4k+1 et b²=4q²+4q+1 donc la somme est 4(k²+k+q²+q)+2 dc a²+b² est congru a 2 modulo 4.
ensuite tu mmontre ke c pas possible ke z² soit congru a 2 modulo 4 puiske si z est congru soit a 0 soit 1 soit a 2 soit a 3 modulo 4 on aura jamais z² congru a 2 modulo 4 dc a²+b² ne peut pas aetre congru a 2 modulo 4 et donc ya au moins un des 2 soit a soit b ki est pair

[Mindyla]

Avec les annales et les amis de spé maths, on apprend beaucoup de choses...
Comme je voyais que personne ne répondait et que j'aime aider les autres (quand je peux), je l'ai fait !

Bon courage, je pense qu'avec tout ça, cela devrait t'aider