problème de TleS sur équation différentielle

[invitefe82bf27]

bonjour, je n'arrive pas à résoudre cette question d'un exercice:
f est solution d'une équation différentielle du type ay'=ay+b, où a et b sont des réels, a différent de 0. Déterminer f sachant que f(0)=2, f'(0)=1 et la limite de f(x) lorsque x tend vers + l'infini = 3. Je ne vois vraiment pas comment trouver, les données ne me donnent rien surtout la limite je ne sais pas comment l'exploiter...
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[prgasp77]

Bonjour.
Il suffit de manipuler un peu l'égalité ay'=ay+b afin d'obtenir quelque chose que tu connais de la forme y'=cy+d
On te précise même que a est non nul ...

Bonne chance.

[Infra_Red]

résouds d'abord l'équation sans second membre :



t'obtiens ça :


tu intégres, t'obtiens y=..., puis tu remplaces ça dans la prime équation en dérivant tout même la constante...

[prgasp77]

résouds d'abord l'équation sans second membre :



t'obtiens ça :


tu intégres, t'obtiens y=..., puis tu remplaces ça dans la prime équation en dérivant tout même la constante...

Ou comment faire compliqué quand on peut faire simple ...
b n'est pas un second membre, c'est une constante qui plus est.

Dans le cours de terminale est donné la solution générique aux équations différentielles de la forme y'=cy+d avec c,d réels. Il faut légèrement modifier l'équation de base pour parvenir à cette forme.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[Infra_Red]

ouais, enfin là je donne la méthode pour résoudre une équa. diff.
c'est la base quand même, il aura pas un formulaire tout le temps sur lui.

et puis même si b est une constante, ça reste un second membre, que ça te plaise ou non !!!

[VegeTal]

Pour l'instant je n'ai appris a résoudre une équation différentielle qu'avec les formes prédéterminées... (y' = ay ou y' = ay + b) je suis donc grandement intéressé par la méthode par intégration, si tu pouvais me l'expliquer en me donnant un exo.

J'ai aussi jeter un coup d'œil aux annales d'avant 2000 et j'ai remarqué que les élèves devaient savoir résoudre une équation différentiel de second ordre. J'ai donc effectué quelques recherches, et je tombe sur la méthode des équations caractéristiques, qui à l'extrême désavantage à mon gout de supposer que les équations du type ont pour solutions les fonctions de la forme .

Exemple : soit l'équation (facile, exemple oblige),

son équation caractéristique
qui admet une double racine

d'où une solution, la fonction avec

n'y a t-il pas un moyen de trouver les solutions d'une telle équation sans supposer une solution probable.

Par exemple avec avec
on voit bien qu'une solution évidente est .

Merci d'avance.

[Infra_Red]

Pour l'instant je n'ai appris a résoudre une équation différentielle qu'avec les formes prédéterminées... (y' = ay ou y' = ay + b) je suis donc grandement intéressé par la méthode par intégration, si tu pouvais me l'expliquer en me donnant un exo.

par exemple :


tu résouds d'abord l'équation sans second membre :



et vu qu'on va intégrer on cherche une forme simple d'intégration :


ce qui donne




puis tu remplaces y(x) dans la première équation avec le second membre, pour y'(x) tu dérives la constante également (u.v).
et normalement tu trouves une valeur de C

[VegeTal]

Pour passer de l'avant dernière ligne à la dernière tu fais :







et comme tu fais pour trouver ?

[Infra_Red]

2³=2⁽¹⁺²⁾=2¹.2²

e^C sera toujours une constante, donc tu remplaces par C.

[invite09c180f9]

e^C sera toujours une constante, donc tu remplaces par C.

Vegetal a dû se mélanger avec les deux "C", tu aurais dû changer de lettre peut-être pour les différencier...

[VegeTal]

effectivement

cette méthode de l'intégration marche t-elle pour toutes situations ?
cf l'exemple que j'ai donné .

[Infra_Red]

pour les équa diff du 1er ordre oui.
pour le second ordre, c'est plus simple, genre :


devient :


la solution est :
y(x)=C₁.e^y1.x+C₂.e^y2.x

avec y₁ et y₂ les solutions du polynôme.

[VegeTal]

comment tu passes de la première à la deuxième ligne ?

[Infra_Red]

la dérivée seconde d'une variable devient cette mm variable au degré 2
la dérivée première d'une variable devient cette mm variable au degré 1
....

[VegeTal]

je savais pas ! en vertu de quel théorème ? tu ne pourrais pas un peu plus étoffer tes explications

[Infra_Red]

j'en sais rien.
j'ai appris comme ça

[VegeTal]

Mais ça parait assez ahurissant ton truc.

si on prend un trinôme on ne peut pas dire que sa dérivé seconde est sa variable au degré deux...

[invitefe82bf27]

merci pour toutes ls réponses , mais nous n'avons pas vu les intégrales, méthodes d'intégration etc... Je continues à chercher avec les gens de ma classe mais pour l'instant nous ne trouvons pas...

[Flyingsquirrel]

mais nous n'avons pas vu les intégrales, méthodes d'intégration etc...

Tu es censé(e) savoir résoudre une équation différentielle du type où et sont des réels, non ? Si c'est le cas il suffit de suivre l'indication de prgasp77...