Dérivé d'une fonction, niveau TL

[Alundra]

Bonjour, je suis un élève de Terminale L et j'ai un souci dans mon exercice de spé' maths'.
Voici le proplème : je dois calculer la dérivé de (3-2x)e^(x/2) (ou e^ désigne l'exponentielle) tout en sachant que le résultat est (-(1/2)-x)e^(x/2). J'ai essayé de calculer la dérivé en faisant u'v+uv' avec u=3-2x et v=e^(x/2) mais ça ne mène à rien. Pouvez-vous ainsi, s'il vous plait, me donner une piste afin que je puisse résoudre ce problème qui, soyons franc, m'embête au plus haut point ^^

[benjy_star]

Salut !

Ta piste est bonne ! Tu trouves quoi pour u' et v' ?

[Alundra]

Alors pour u' j'ai trouvé -2, car dérivé de 3 est 0 et dérivée de -2x est -x.
Pour v', c'est plus délicat, j'ai fait la dérivé selon la forum (e^u)' = u'*e^u, donc j'ai trouvé 1/2.
Par la suite, comme c'est une multiplication, j'ai fait u'v+uv'. je trouve de ce fait -2*e^(x/2)+3-2x*(1/2)e^(x/2)
u'=-2 v=e^(x/2)
u=3-2x v'=(1/2)e^(x/2)

[Alundra]

Petite erreur : dérivé de -2x est -2 (faute de frappe)

[benjy_star]

-2*e^(x/2)+(3-2x)*(1/2)e^(x/2)

J'ai réjouté une parenthèse important !

Sinon, maintenant, tu peux factoriser par e^(x/2) et l'expression sera plus simple, tu vas voir !

[Alundra]

C'est justement là où je coince, je commence avec e^(x/2)(-2... et je sais pas quoi mettre ensuite car l'expression me perturbe.
-2*e^(x/2)+(3-2x)*(1/2)e^(x/2)
Comment faire avec ce (3-2x) facteur de 1/2, là je ne vois pas quoi faire, et c'est face à ça que je me suis dit que mon raisonnement était faux.

Ca ferait comme ça ?
e^(x/2)[-2+(3-2x)*(1/2)] ?

[Alundra]

Yep yep, merci beaucoup j'ai trouvé la solution ^^
Après ceci on trouve e^(x/2)(-2+3/2-x)
e^(x/2)(-4/2+3/2-x)
e^(x/2)(-1/2-x)

Mais j'ai encore un problème dans mon exercice. Toujours avec (3-2x)e^(x/2) je dois trouver des points bien précis sans unités. J'ai ainsi D, E et F. Pour D, il est l'intersection de C (la courbe) avec l'axe des ordonnées, c'est à dire D est caractérisé par une abscisse égale à 0 j'ai trouvé f(0)=3 (j'ai remplacé x par 0).
J'ai un souci avec E qui est le point d'intersection de C avec l'axe des ascbisses, soit une ordonnée égale à 0, je dois donc trouver x. J'ai là f(x)=0 mais je ne sais pas comment calculer ceci avec l'expression suivante :
(3-2x)e^(x/2)=0
Je ne vois pas quoi faire.
Ensuite, je dois trouver F qui est le point de C d'ordonnée maximale, ça aussi je ne vois pas comment faire...

[benjy_star]

Salut !

(3-2x)e^(x/2)=0

L'exponentielle n'est jamais égale à 0 donc il faut que quoi soit égal à 0 ?

Pour trouver un maximum, c'est quand la dérivée s'annule !

[Alundra]

Certes mais là j'ai une réprésentation graphique et c'est égal à 0 puisque la courbe passe par 0. Le truc c'est que je n'ai pas de scanner pour montrer la courbe, sinon sur la calculatrice graphique on le voit bien. Lorsque x tend vers l'infini positif, on passe par 0, mais lorsque que x tend vers l'infini négatif, je sais pas.

Ensuite, je ne comprend pas "quand la dérivée s'annule", c'est ce que j'avais noté sur mon DM lorsque le prof' a expliqué mais je ne comprend pas vraiment le sens.

[benjy_star]

Je crois qu'on s'est pas compris :

(3-2x)e^(x/2)=0 si et seulement si (3 - 2x) = 0

Tu as calculé la dérivée. Et bien tu poses f'(x) = 0 et tu résous. Et tu trouveras la valeur de x.

Dans les deux cas, n'oublie pas de chercher le y correspondant, il y a deux coordonnées !

[Alundra]

Je dois donc me servir de la dérivée ? Ok, donc on a e^(x/2)*(-(1/2)-x) mais le problème est le même, je ne vois pas comment faire.
e^(x/2)*(-(1/2)-x)=0
Maintenant il faut isoler le x, mais c'est là où je coince.
e^(x/2)=(-(1/2)-x) > je me demande si c'est possible...
Après, si on peut, on pourrait peut être multiplier par 2 pour enlever ces fichues fractions.
2e^x=-1-2x
2e^x+1=-2x
(2e^x+1)/-2=x
-(e^x+1/2)=x

Ceci me semble faux étant donné que le point se trouve sur une abscisse positive =/

[benjy_star]

Attention ! Si a*b = 0 alors a = 0 ou b = 0

Ici : e^(x/2)*(-(1/2)-x)=0 donc e^(x/2) = 0 (impossible) ou -1/2 - x = 0 (qu'il faut résoudre)

Tu vois ?

[Alundra]

Oui c'est bon j'ai trouvé ^^
Enfin =]
Merci beaucoup pour l'aide fournie =)

[Alundra]

J'ai un autre problème dans cet exercice. J'ai donc une courbe sans unités et j'ai une tangente du point D de coordonées (0;3). Par ailleurs, j'ai un point G de coordonées (3;2) qui est lié par cette au point D par cette tangente. La question est de savoir si la droite (DG) est justement une tangente à C (la courbe de la fonction) en D, et j'ai comme note de chercher le nombre dérivé de D. Le truc étant que je suis complètement perdu.

Je rappelle la fonction f(x)=(3-2x)e^(x/2)
Le dérivée f'(x)=((-1/2)-x)e^x/2
J'ai essayé avec l'équation de la tangente et la formule T:y=f'(a)(x-a)+f(a) où a est l'abscisse mais ça ne donne rien.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

[Alundra]

*qui est lié au point D par cette tangente
faute de frappe ^^