Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

invitebbd87c0d · 01/01/2009, 20h06

Bonsoir,

J'essaye de terminer un exercice, mais les démonstrations sont quelque chose de difficile pour moi.

Pouvez vous m'aidez ? voici l'ennoncé :

1 ) Démontrer que pour tout réel,
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

2 ) En déduire que pour tout entier
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et obtenir $\text{[math]}$ [1]

3) a) De la même façon, démontrer que pour tout entier $\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ [2]

b) Démontrer à partir de [2] que pour tout entier $\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ [3]

4) Obtenir à l'aide de [1] et [3] l'encadrement :
Pour tout entier $\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$

5) v est la suite définie pour tout entier $\text{[math]}$ par :
$\text{[math]}$

a) Démontrer que pour tout entier $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

b) en déduire que la suite v converge vers e

_______________

pour l'instant je comprend a peine le sujet :

j'ai fais ceci :

1)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$

Après je sais pas comment finir. quelqu'un peut m'aider à comprendre ? j'aimerais la faire seule mais comme toutes les questions sont dépendantes je suis concée.

Merci beaucoup si vous pouvez juste m'éclaircir peu à peu le sujet.

**VegeTal** · 01/01/2009, 20h19

Bonsoir,

Ce que je te proposes :

1)Étudiez la fonction $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ pour montrer quelle est toujours négative.

2)très facile en partant de $\text{[math]}$ et en prenant $\text{[math]}$ .

3)Pareil en prenant $\text{[math]}$
Pour la suite je te tiens au courant

**Flyingsquirrel** · 01/01/2009, 20h27

Envoyé par Choupette4657

$\text{[math]}$

Oui. En mettant les deux termes au même dénominateur on obtient $\text{[math]}$ et il n'y a pas besoin de passer par la dérivée seconde pour étudier le signe de $\text{[math]}$ .

invitebbd87c0d · 02/01/2009, 00h01

Merci pour toutes ces réponses, voici maintenant ce que j'ai fais :

1)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$ , Pour tout x sur $\text{[math]}$
D'ou, $\text{[math]}$ pour tout réel $\text{[math]}$

2)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , car la fonction exponentielle est strictement croissant sur|R

3)
a)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , car la fonction exponentielle est strictement croissant sur|R

b) $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Flyingsquirrel** · 02/01/2009, 09h43

Envoyé par Choupette4657

1) [...]
$\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$ , Pour tout x sur $\text{[math]}$
D'ou, $\text{[math]}$ pour tout réel $\text{[math]}$

Attention, $\text{[math]}$ n'est pas toujours négatif (prends $\text{[math]}$ pour t'en rendre compte).
De toute façon, même si $\text{[math]}$ était négatif pour tout $\text{[math]}$ cela ne te permettrait pas forcément d'en déduire que $\text{[math]}$ .
Pour prouver que $\text{[math]}$ est négative, on t'a suggéré d'étudier ces variations : $\text{[math]}$ admet-elle un maximum ? Que vaut-il ? Conclusion ?

Envoyé par Choupette4657

2)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , car la fonction exponentielle est strictement croissant sur|R

D'accord.

Envoyé par Choupette4657

3)
a)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , car la fonction exponentielle est strictement croissant sur|R

Euh il y a des « - » qui se sont transformés en « + » dans les deux dernière lignes. Au lieu de $\text{[math]}$ tu devrais avoir $\text{[math]}$ (d'ailleurs il y a une coquille dans l'énoncé donné au message #1, le résultat a trouvé est bien celui-là et pas celui donné à la question 3.a)

Envoyé par Choupette4657

b) $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
?

Il y a un problème de signe dans la première ligne (copier/coller ?) mais la seconde ligne est correct. Pour poursuivre tu peux utiliser ceci : $\text{[math]}$ .

invitebbd87c0d · 02/01/2009, 12h32

Euh il y a des « - » qui se sont transformés en « + » dans les deux dernière lignes. Au lieu de $\text{[math]}$ tu devrais avoir $\text{[math]}$ (d'ailleurs il y a une coquille dans l'énoncé donné au message #1, le résultat a trouvé est bien celui-là et pas celui donné à la question 3.a)

oui je me suis trompée pardon

c'est bien $\text{[math]}$ au 3a)

- - -

ça progresse peu à peu :

1)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Après étude de fonction j'en arrive à ceci :

Si $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ croissante sur $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ strictement décroissante sur $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ admet un maximum en 0
Donc $\text{[math]}$

D'ou, $\text{[math]}$ pour tout réel $\text{[math]}$

2)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur|R

3)
a)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur|R

b) Même avec votre aide je n'arrive pas trouver l'astuce

**Flyingsquirrel** · 02/01/2009, 13h01

Envoyé par Choupette4657

ça progresse peu à peu :

1)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Après étude de fonction j'en arrive à ceci :

Si $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ croissante sur $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ strictement décroissante sur $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ admet un maximum en 0
Donc $\text{[math]}$

Oui car $\text{[math]}$ .

Envoyé par Choupette4657

2)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur|R

3)
a)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur|R

D'accord.

Envoyé par Choupette4657

b) Même avec votre aide je n'arrive pas trouver l'astuce

À la question 3.a tu as montré que $\text{[math]}$ c'est-à-dire que $\text{[math]}$ . Cette expression est valable pour $\text{[math]}$ autrement dit pour $\text{[math]}$ .

À la question 3.b on te demande d'utiliser $\text{[math]}$ (valable pour $\text{[math]}$ ) pour montrer que $\text{[math]}$ (valable pour $\text{[math]}$ ). Vois-tu comment faire pour passer de la première inégalité à la seconde ?

invitebbd87c0d · 02/01/2009, 13h13

Hypothèse de récurrence ?

**Flyingsquirrel** · 02/01/2009, 13h34

Envoyé par Choupette4657

Hypothèse de récurrence ?

Non, c'est plus simple que cela. Tu as dû remarquer que les deux inégalités se ressemblent beaucoup. Là où il y a un $\text{[math]}$ dans la première, on trouve un $\text{[math]}$ dans la seconde. Là où il y a $\text{[math]}$ dans la première, on trouve un $\text{[math]}$ dans la seconde. Cela nous donne envie de poser $\text{[math]}$ (donc $\text{[math]}$ ). La première inégalité qui est

$\text{[math]}$

devient alors (en remplaçant $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ )

$\text{[math]}$

c'est-à-dire

$\text{[math]}$ .

Cette égalité est bien celle que l'on souhaitait montrer.

invitebbd87c0d · 02/01/2009, 14h07

D'accord.

c'est bien ceci pour la "4)" ?

4)
On sait que :

$\text{[math]}$
si et seulement si $\text{[math]}$

On sait aussi que

$\text{[math]}$

d'ou $\text{[math]}$

**Flyingsquirrel** · 02/01/2009, 14h12

Envoyé par Choupette4657

c'est bien ceci pour la "4)" ?

Oui. N'oublie pas de préciser les valeurs de $\text{[math]}$ pour lesquelles les inégalités que tu écris sont valables.

invitebbd87c0d · 02/01/2009, 14h32

Pardon

4)
On sait que :

Pour $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
si et seulement si $\text{[math]}$

On sait aussi que

Pour $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

d'ou $\text{[math]}$ , Pour $\text{[math]}$

5)
$\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
Si et seulement si $\text{[math]}$

comment prouver $\text{[math]}$ ?

**Flyingsquirrel** · 02/01/2009, 14h39

Envoyé par Choupette4657

comment prouver $\text{[math]}$ ?

En utilisant $\text{[math]}$ dont on tire $\text{[math]}$ (avec $\text{[math]}$ ).

invitebbd87c0d · 02/01/2009, 15h58

Envoyé par Flyingsquirrel

En utilisant $\text{[math]}$ dont on tire $\text{[math]}$ (avec $\text{[math]}$ ).

a)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

je coince toujours, je suis impardonnable !

$\text{[math]}$

b)
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$

**Flyingsquirrel** · 02/01/2009, 16h25

Envoyé par Choupette4657

a)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .

Factorise le terme $\text{[math]}$ , la suite ne devrait pas poser de problème.

Envoyé par Choupette4657

je coince toujours, je suis impardonnable !

Je ne donne pas beaucoup d'indications non plus...

Envoyé par Choupette4657

b)
$\text{[math]}$

Euh pourquoi ne pars-tu pas de $\text{[math]}$ ?

Une question intermédiaire pour t'aider : montrer que la suite $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ converge vers 0.

Envoyé par Choupette4657

$\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$

On ne dit pas qu'une suite converge vers $\text{[math]}$ . Soit une suite admet une limite finie et dans ce cas on dit qu'elle converge. Soit elle n'admet pas de limite finie et dans ce cas on dit qu'elle diverge. Une suite tendant vers $\text{[math]}$ n'admet pas de limite finie donc elle diverge vers $\text{[math]}$ .

invitebbd87c0d · 02/01/2009, 17h20

$\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

On sait que

$\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$

D'ou,
$\text{[math]}$

conclusion
$\text{[math]}$

**Flyingsquirrel** · 02/01/2009, 20h05

C'est correct !

invitebbd87c0d · 02/01/2009, 20h43

Soit $\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

D'après le théorème des gendarmes

$\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

Conclusion la suite v converge vers e

**Flyingsquirrel** · 02/01/2009, 21h01

C'est de nouveau correct.

invitebbd87c0d · 02/01/2009, 21h20

J'ai terminée mon exercice

Merci beaucoup !

Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

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