Scindage d'une sinusoide

[Bigonoff]

Bonjour
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Je suis bloqué sur un petit problème mathématique.
Avant tout, j'explique le contexte, relatif à un projet électronique.

Je dispose d'une tension alternative, qui fournit une énergie à une charge.
Mon problème est que je dois partager cette énergie en 50 parts égales.

Autrement dit, point de vue mathématique, je me retrouve avec une sinusoide sur 1/2 période (180°) qui coupe l'axe horizontal à 0 et 180°.

Je doit "couper" cette surface en tranches verticales, de façon à obtenir 50 tranches de surfaces identiques.

J'ai besoin de savoir la formule qui me permet de calculer chacune des largeurs de la tranche (chaque largeur étant évidemment différente).

J'ai tenté de calculer la largeur de la première des tranches, voici ce que j'ai fait :

La surface totale délimitée par la sinusoide et l'axe X est, si la largeur est 180 (largeur exprimée en degrés) et l'amplitude U (arbitraire) :

(U/Racine2) * 180

U/racine2 étant la hauteur du rectangle qui délimite la même surface que la sinusoide par rapport à l'axe X.

En divisant par 50, j'obtiens une largeur de (U/racine2) * 3,6

Or, si je prends la première tranche verticale, en raisonnant de façon approximative, je peux considérer que la surface, vu que la largeur est faible (dx), est un rectangle de largeur = x centré sur la sinusoide, et donc dont la hauteur vaut U * sin(x/2) (vu que j'ai choisi la largeur totale comme étant égale au nombre de degrés).

Donc, je peux dire que la surface de ce rectangle est égale à celle d'un 50ème de la surface totale, donc :

(U/racine2)*3,6 = U * x * sin(x/2)

Donc, je me retrouve avec

x * sin(x/2) = 3,6/racine2

Je cale ici, car je ne sais pas comment extraire x de cette formule, j'ai oublié la formule pour extraire x de : x * sinx (oups).

Et pour les "tranches" suivantes, c'est encore plus compliqué, car la seconde "tranche" démarre à la fin de la première (si je me fais bien comprendre).

Autrement dit, quelqu'un pourrait-il me dire comment calculer la largeur d'une tranche quelconque "i" ?

La bonne méthode est de passer par les intégrales, à mon avis. Moi, j'ai plus une approche "électronique" que mathématique.

Merci d'avance

A+
Bigonoff
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[Jack]

salut,

Tu peux peut-être envisager une solution par intégration numérique. Une méthode simple est celle des trapèzes (Euler si je me souviens bien).

Puisque tu connais l'aire théorique d'une tranche, tu pourrais calculer itérativement l'aire du trapèze en encadrant la borne que tu recherches jusqu'à atteindre la précision que tu estimes suffisante.

Il ne devrait pas y avoir de problèmes de convergences vu que la fonction est monotone sur un quart de période.

Il faudra tout de même trouver comment faire varier judicieusement le pas lors de l'encadrement de la valeur de x recherchée à chaque nouvelle tranche.

A+

[Bigonoff]

Salut
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Oui, je connais cette méthode, j'ai écrit des logiciels qui l'exploitaient pour résoudre des intégrales, merci .

Dans l'exemple simplifié que j'ai donné initialement, j'avais appliqué la méthode des rectangles, plus simple (je ne cherche pas une énorme précision).

Le problème, ici, c'est que je ne cherche pas à trouver la surface en fonction du pas, mais bien le pas en fonction de la surface, le dit pas étant du reste variable, puisque je cherche à obtenir des surfaces égales.

Pour être complet, la fonction de départ est :

f(x) = (U * sin x)²

U étant une constante quelconque (sans importance, puisqu'elle s'annule lorsqu'on "partage" la courbe). Rien n'empêche de la prendre égale à 1 pour simplifier.

Je cherche à "partager" l'intégrale obtenue dans l'intervalle 0-180° en 50 parts égales, et ensuite à calculer les 50 intervalles de x pour obtenir 50 "tranches" verticales de surface égale.

La résolution de l'intégrale totale de la fonction de départ est faite, dans l'intervalle 0/180 degrés, la réponse est U²/2.

Donc, 1/50ème = U²/100

Pour parler concret, quelle est la première valeur de x qui me donne une surface de U²/100, ou, exprimé autrement, quelle est la valeur de a pour que l'intégrale allant de 0 à a me donne un résultat de U2/100?

Ensuite, connaissant a, quelle est la valeur de b pour que l'intégrale allant de a à b me donne un résultat de U2/100? Et ainsi de suite pour mes 50 portions de la courbe? La logique veut que plus je me rapproche de 90°, plus mes intervalles "b-a" sont petits.

J'espère que je me fais correctement comprendre

A+
Bigonoff

[Bigonoff]

Salut
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Je me suis tiré d'affaire par une approche informatique.
J'ai créé un petit logiciel qui me permet de faire varier les limites gauches et droites de l'intégrale, et qui m'affiche en temps réel les résultats sous forme de tension RMS et sous forme de la puissance obtenue.
C'était alors un jeu d'enfant de déplacer les curseurs pour obtenir les valeurs souhaitées (en somme, j'ai pris le problème à l'envers).

Voici la portion de code qui se rapporte aux calculs (tu remarqueras, Jack, que j'ai utilisé la méthode dont tu parles).

Mais si quelqu'un a la véritable résolution mathématique, ça m'intéresse au plus haut point (c'est plus élégant).

******************
Dim i As Double

Result = 0

For i = LimitG To (LimitD - Pas) Step Pas 'LimitG To LimitD Step Pas
Haut1 = Umax * Sin(i * Pi / 180) ' tension à la limite gauche
Haut2 = Umax * Sin((i + Pas) * Pi / 180) ' tension à la limite gauche + un pas
Haut1 = Haut1 * Haut1 ' prendre le carré de la tension1
Haut2 = Haut2 * Haut2 ' prendre le carré de la tension2
Result = Result + (Haut1 + Haut2) * Pas / 2 ' surface = énergie d'une tranche
Next i

Result = Result / 180 ' puissance = énergie / temps
TResult.Text = CStr(Result) ' afficher puissance de la zone
TRacine.Text = CStr(Sqr(Result)) ' tension efficace = racine carrée


A+
Bigonoff

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jack]

Salut,

j'avais bien compris ton problème 8) .

En revanche j'ai du mal présenter ma proposition de résolution.

Prenons le cas général: tu viens de calculer une borne, celle que tu appelles a. La valeur théorique de la suivante est b.

Pourquoi ne pas calculer l'aire du trapèze dont la base est délimité par a et b+Δx1, puis celle délimitée par b-Δx2, puis b+Δx3 avec Δx3 < Δx1, etc. jusqu'au moment où l'aire calculée est suffisamment proche de U²/100?

La difficulté que j'entrevoyais était le choix des Δx. Il est toujours possible de diviser Δx par 2 à chaque itération et de tester si l'estimation est inférieure ou supérieure à b. Ca ne doit être la méthode la plus rapide, mais ça doit être suffisant.

Un autre problème est le choix de b+Δx1, vu que tu ne connaîs pas encore b. Pourquoi ne pas prendre la largeur du précédent trapèze(celui qui a servi à calculer a), de cette manière tu es sur de faire un premier calcul par excès si tu es dans le premier quart de la période.

A+

[invite489d0396]

bonjour,
c'est pas toute à fait la solution, mais ça peut toujours aider:
je prend U=1
f(x)=(sin(x))^2
soit g l'intégral de f:
g(x)=(x-sin(2x)/2)/2 + C
l'intégral entre 0 et pi (180°c) est S=pi/2
donc la tranche: s=S/50=pi/100
soit x0,x1,...,x50 les x qui limite les 50 tranches.
donc: g(xi)-g(x(i-1))=pi/100
comme g(0)=C. mettons C=0.
x1 est la solution de : g(x)=pi/100
xi est la solution de : g(x)=i*pi/100
le probleme revient donc à résoudre une équation de la forme:
(x-sin(2x)/2)/2=Constante

[Bigonoff]

Salut
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Merci à tous deux.

Pour Jack : ce n'est pas toi qui a mal expliqué, je t'ai relu, et c'est moi qui n'avais pas bien compris. Effectivement, par l'informatique, ta méthode est simple à mettre en oeuvre.

Du reste, c'est ce que j'ai fait, à la seule différence que je déplace mes bornes manuellement. Il me suffit de faire varier les limites automatiquement par dichotomie, et de comparer les résultats pour arriver à la solution que tu proposes. Je vais modifier un brin mon programme, ce n'est guère compliqué.

Pour Alarbi : Merci pour la mise en équation : je vais partir de ta formule, et je pourrai comparer les résultats en appliquant les Xi dans le programme dont je parle précédemment. Ainsi, j'aurai la solution mathématique aussi bien qu'informatique. J'aime bien comprendre

Encore merci 1000 fois

A propos, il faudrait que je révise mes intégrales, LOL. J'utilise trop peu souvent, et, avec les années, j'ai oublié une grosse partie.
Personne ne connait un site où on peut trouver les renseignements utiles?

A+
Bigonoff