Une suite et fonction associée ?

[invite3f08773a]

Bonjour tout le monde , je bloque sur 2 question d emon exo je n'arrive pas à demontrer l'ensemble de definition de ma suite et de plus j'ai du mal à montrer que cette suite est convergente , voici l'enoncé au complet :

f est la fonction définie sur ](1/2) ; +00[ par f(x) = x²/(2x-1).

3)Démontrer que si x>1 alors f(x) >1
On definie la suite u par u0 = 2 et pour tout entier naturel n ,
un+1 = f(un). (reussi)

4)On considere les suite v et W definies pour tout entier naturel n par :


Expliquer pourquoi les termes Vn et Wn sont definis pour tout entier n
De plus , demontrer que Wn est une suite geometrique.

Merci de votre aide , car je suis vraiment bloquer pour les parties en rouge.
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[invite3f08773a]

Wn est definis si seulement Vn fait parti de R+* mais comment le demontrer ?

[lapin savant]

Salut,
étudie la suite vn :

[invite3f08773a]

oue donc jusqu'a l c'est ce que je fais mais ca revient au meme il n'y a pas de simplification à faire , donc on est bien bloquer ... (merci de ton aide!)

[A voir en vidéo sur Futura]

[lapin savant]

donc on est bien bloquer ... (merci de ton aide!)

Bien sûr que non !!
Tu as montré que f(x)>1, pour x>1, car f est strictement croissante à partir de 1.
Donc U(n+1)=f(un) est strictement croissante puisque U0=2 !

Par conséquent : Un > 1 pour tout n...

[invite3f08773a]

F(x) = f(Un) ? ?

donc a partir de la je dis simplement que à partir de 1 Un+1 est croissante donc :

Un+1 sup à 1 implique que
Un+1 -1 sup à 0 implique que
(Un+1 -1)/ Un+1 sup à 0 donc Vn+1 sup à 0 et ca suffit donc pour son ensemble de definition ?

[lapin savant]

Non.
f(x)=f(n) pour x entier naturel (présents parmi les réels...).
Et les termes de la suite Un sont des entiers naturels (ou alors tu ne sais pas ce qu'est une suite...).

Un est définie par récurrence à l'aide de f, tu utilises donc les résultats sur f.

[invite3f08773a]

ouki , mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi ca fait cela f(x)=f(n).
je vois pas en quoi cela nous aide à montrer l'ensemble de definition de Wn.

[lapin savant]

Ok :
f est définie pour tout réel x>1/2.

On définit la suite (Un)n>=0 par :


Tu as montré que


Or, u0 = 2 >1
Donc u1 = f(u0) > 1 et ainsi de suite ok?

Donc


Tu endéduis facilement le signe de vn.

[invite3f08773a]

Donc Vn est strictement Positif ok , lol y ma fallut du temps quand meme je reconnais maintenant que c'etait pas si difficil lol me on y pense pas c sa les math lol merci de ton aide

[invite3f08773a]

Par contre montrer que Vn est une suite geometrique à mon avis je dois me servir de la suite Vn mais je vois pas par ou commancer ?

[lapin savant]

Par contre montrer que Wn est une suite geometrique à mon avis je dois me servir de la suite Vn mais je vois pas par ou commancer ?

Ensuite ln(a/b)=ln(a)-ln(b) et tu remplaces par l'expression de f (tu dois au final trouver un nombre, la raison q.

[invite3f08773a]

ok donc quand j'applique cette regle je tombe sur :

(ln[f(Un)-1]-lnf(Un)] x [ln Un - ln Un-1]

la le calcul se complique bcp mais c'est ca ?

[lapin savant]

ok donc quand j'applique cette regle je tombe sur :

(ln[f(Un)-1]-lnf(Un)] x [ln Un - ln Un-1]

la le calcul se complique bcp mais c'est ca ?

Désolé je me suis trompé au-dessus :
(ln[f(Un)-1]-lnf(Un)] / [ln Un - ln Un-1]

Ensuite tu utilises l'expression de f.
Il faut tomber sur :
W(n+1) = q Wn

[invite3f08773a]

je remplace f(un) par la fonction f en remplacant les x par des n ou alors en mettant Un+1 pke dans les deux cas j'arrive à une contradiction , je trouve Wn+1=Wn ( Bizarr...) je m'y prend mal alors

[invitee625533c]

Bonjour à tous

j'ai calculé et je suis tombé sur , ce qui donne .

[invite3f08773a]

2Wn , donc la raison seraut 2.

Mais comment calcule tu Wn+1 - Wn , tu remplace f(Un) par quoi en fait n²/(2n-1) ?

merci de ton aide !

[invitee625533c]

Trois remarques:

- Le calcul que t'a proposé lapin savant est aussi valable et faisable: il faut mettre la main à la pâte et faire tous les calculs;

- pourquoi tu ouvres deux discussions sur le même exercice ?

- c'est , et non , qui joue le rôle de : est l'image de par la fonction ?

Mais comment calcule tu Wn+1 - Wn , tu remplace f(Un) par quoi en fait n²/(2n-1) ?

merci de ton aide !

C'est logique, c'est tout bête mais il faut calculer dans l'ordre. D'après l'énoncé:

w_n est défini à partir de v_n n'est ce pas ?

v_n lui à partir de u_n n'est ce pas ?

et u_n+1 lui à partir de u_n via :
et non n²/(2n-1) comme tu dis ! car je répète c'est le terme qui remplace et non l'indice

Donc tu peux commencer par écrire:

n'est ce pas ?

puis tu remplaces par par quoi ?...et tu trouveras après simplification .