Etude de fonction f(x) = (x - e)(ln x - 1)

[zoutav]

Voila l'énoncé de mon exercice :

On considère la fonction f définie sur ]0; +oo[ par :
f(x) = (x - e)(ln x - 1)

1° Déterminer les limites de f en 0 et en +oo
2° Déterminer la fonction dérivée de f
3° Soit la fonction g définie sur ]0; +oo[ par :

g(x) = ln x -e/x

a) Déterminer le sens de variation de g
b) Calculer g(e) et déduire, à l'aide de a), le signe de g sur ]0; +oo[
4° En utilisant les résultats sur la fonction g, déterminer le sens de variation de f et dresser son tableau des variations.
5° Dans le plan muni d'un repère, on désigne par D la droite d'équation y = -x + e
Etudier la position de la courbe C représentant f par rapport à D.

Je vois pas trop comment me lancer dans l'exercice, si au départ je développe la formule de f qui m'est donnée ou si je l'utilise telle quelle, si on pouvais me donner 2-3 pistes ce serait génial.

[filoufilouo]

Y'a rien de difficile à la question 1, faut faire l'effort de réfléchir un minimum sinon tu n'y arriveras jamais tout seul.

[zoutav]

La limite en plus l'infini je trouve plus l'infini en gardant la forme de départ mais pour la limite en 0 j'ai décidé de transformer l'expression et j'obtiens :

f(x) = x(ln x)-2x+e

correct ?

[filoufilouo]

Mais en gardant la forme de départ tu trouves la réponse pour les deux limitites car en posant u(x) = x-e
v(x) = lnx -1
tu trouves lim u(x) = -e lorsque x tend vers 0
lim v(x) = - infini lorsque x tend vers 0
le produit des deux n'est pas une forme indéterminées et tu as ta réponse.

[kaiswalayla]

Bonjour,
pour la limite en 0, t'as pas besoin de transformer l'écriture de f(x) !

et ton développement est faux !

arrivé en retard

[zoutav]

Donc pour ma limite en + je trouve qu'elle est égale a plus l'infini.

Tu me dis que mon développement est erroné, pourrais tu m'indiquer mon erreur si possible

[filoufilouo]

Non mais tu sais pas distribuer ???
Car là faut revoir les bases, et oui la limite en + infini est + infini

[zoutav]

Ca fait xln x-x-e*ln x+e ?

[filoufilouo]

Oui tout à fait, tu vois que tu sais quand tu prends la peine.
Mais de toute façon pour calculer les limites il ne faut pas distribuer, relis mes posts précédents.

[zoutav]

J'ai une question car ça fait xln x-x-e*ln x+e

Hors -e*ln x n'est il pas égal à - x ?

[filoufilouo]

Ha non pas du tout oula tu confonds deux choses, le produit de deux fonctions, et la composée de deux fonctions.
Ici tu as -e*ln(x)
soit -exp(1)* ln (x)
et pas -exp(ln(x)) qui là vaudrait bien - x à condition que x soit strictement positif bien sûr.

[zoutav]

Ok ok la maintenant c'est beaucoup plus clair pour moi merci beaucoup !

Quand à ma dérivée je garde l'expression de départ :

U = (x-e)
U' = (1-e)

V = ( lnx-1)
V'= (1/x)

f '(x) = (1-e)( lnx-1)+(x-e)(1/x)
= ln x -1 -e^lnx+e+1-e/x
=ln x -e^lnx+e-e/x
=ln x - e/x

Ce qui est en accord avec la suite de l'exercice avec la fonction g(x)

[filoufilouo]

Tu retombes sur tes pattes pour la valeur de la dérivée mais tu t'es trompé quand même pour la dérivé de (x-e) !!!
la dérivée de (x-e) c'est 1 tout simplement, e c'est une constante !

[zoutav]

Ok merci pour toi en effet j'ai refais le calcul et je retombe sur la même dérivée mais merci quand même !