[TS+] Entraînement au Concours Général

[invitef1b93a42]

Non Zweig je connaissais la réponse j'ai fais l'exercice 2.1 en entier :P Mais ma question était plutôt de savoir si vous connaissiez quelque chose sur ce fameux polynôme, car il permet une telle démonstration ce qui suppose qu'il est connu, on ne le sort pas de nul part ce polynôme ! Je souhaitais savoir s'il porte un nom, l'étude qu'on a fait sur lui, etc...
-----

[Flyingsquirrel]

Mais ma question était plutôt de savoir si vous connaissiez quelque chose sur ce fameux polynôme, car il permet une telle démonstration ce qui suppose qu'il est connu, on ne le sort pas de nul part ce polynôme !

Tu peux lire la deuxième partie du sujet de CAPES externe 2007 (fichier PDF), on y parle de ce polynôme (pour information, les réponses aux questions des deux premières parties du problème ne font appellent qu'à des connaissances de niveau lycée).

[Thorin]

Et quand k est plus grand que n, le cot²t est à une puissance négative ?

[Seirios]

Phys2 > En effet

Alors voici mon raisonnement :

 Cliquez pour afficher

Supposons que le polynôme P soit caractérisé par : .

On a alors (1)

Ensuite, il est immédiat que l'identité soit solution, donc , d'où (2)

De (1) et (2), on déduit , soit .

Ainsi, .

Ensuite, P étant un polynôme, elle est continue sur IR, d'où :.

Or , d'où ou .

On a donc .

Ensuite, considérons la suite définie sur IN par .
On a alors et si . Par récurrence, on montre donc : , ou autrement dit, tous les sont des antécédents de 0.

Néanmoins, , donc est strictement croissante. Donc pour tout .

Ainsi, 0 possède une infinité d'antécédents par .

Or est un polynôme, puisque somme algébrique de deux polynômes.

Ce polynôme possède ainsi une infinité de racines ; cependant, un polynôme non nul K possède au plus racines. On en déduit que est le polynôme nul, et donc que P est l'identité.

La réciproque est immédiate, et a déjà été mentionnée plus haut.

[invite2220c077]

C'est ça

[invite381520c5]

Je tenterai de répondre à la question 1.1
la suite A(n) est multiple de n si et ssi :
A(n)=n*K avec K entier naturel.

On pose A(n)=n*U(n)

Avec U(n+2)=U(n)+U(n+1) et U(0)=0 et U(1)=1 ....(suite de Fibonacci).

Nous avons bien
A(0)=0*U(0)=0.
A(1)=1*U(1)=1.
A(2)=2*U(2)=2.
A(3)=3*U(3)=6.


Je procède par récurrence :
On suppose que A(n)=n*U(n) et on démontre que A(n+1)=(n+1)*U(n+1).

On a :
A(n+1)=2*A(n)+A(n-1)-2*A(n-2)-A(n-3).
=2*(n*U(n))+(n-1)*U(n-1)-2*(n-2)*U(n-2)-(n-3)*U(n-3).

En développant l'expression on aboutit à:
A(n+1)=(n+1)*U(n+1)....CQFD

PS: le développement prend trois lignes...j'ai pas eu le courage de les retranscrire.

[invite2220c077]

C'est ça ! L'idée essentielle était de voir qu'il y avait du Fibonacci là-dessous

[mx6]

Exercice 2.2.4 :

Soit une fonction convexe sur I. Montrer que pour tous réels de I, on a l'inégalité
suivante :

 Cliquez pour afficher

Posons une fonction définie sur I tel que :
Alors
Or est convexe, donc est croissante, de plus ,
ce qui nous donne
Soit décroissante, donc
Ce qui conclut.

[invite2220c077]

Exercice 2.2.4 :

Soit une fonction convexe sur I. Montrer que pour tous réels de I, on a l'inégalité
suivante :

 Cliquez pour afficher

Posons une fonction définie sur I tel que :
Alors
Or est convexe, donc est croissante, de plus ,
ce qui nous donne
Soit décroissante, donc
Ce qui conclut.

C'est ça. Reste plus qu'à montrer la propriété que tu as utilisée .

[Thorin]

Exercice 2.2.4 :

Soit une fonction convexe sur I. Montrer que pour tous réels de I, on a l'inégalité
suivante :

 Cliquez pour afficher

Posons une fonction définie sur I tel que :
Alors
Or est convexe, donc est croissante, de plus ,
ce qui nous donne
Soit décroissante, donc
Ce qui conclut.

Il y a un vice très grave : f n'est nullement supposée dérivable sur I.
Pour une fonction pas forcément dérivable, la caractérisation par le signe de la dérivée n'est plus valable, on ne peut plus se servir que des inégalités des pentes.

[God's Breath]

Il y a un vice très grave : f n'est nullement supposée dérivable sur I.

La fonction convexe est dérivable à droite en tout point.
Et si la dérivée à droite est de signe constant, la fonction est monotone...

[Seirios]

Pour le problème 2.5, je trouve un résultat incomplet, mais je n'arrive pas à voir où mon raisonnement est incorrect :

 Cliquez pour afficher

La fonction f vérifiant l'inégalité pour tous réels x et y la vérifiera également pour tous réels x et y distincts.

Alors de , on déduit .

En faisant tendre y vers x, on devrait ainsi obtenir pour tout réel x. Donc f devrait être constante ; la réciproque est alors immédiate.

Pourtant, on voit que la fonction identité devrait également être solution, donc mon raisonnement est forcément incomplet, mais je ne vois pas où...

[Thorin]

L'identité vérifie la relation ?

0.5-0.1 < (0.5-0.1)² ?
0.4 < 0.4² ?
0.4 < 0.16 ?

La fonction convexe est dérivable à droite en tout point.
Et si la dérivée à droite est de signe constant, la fonction est monotone...

Mais il faut le montrer, et déjà, en terminale, on ne dispose pas de théorème sur la limite d'une fonction monotone, me semble-t-il.

[Seirios]

L'identité vérifie la relation ?

0.5-0.1 < (0.5-0.1)² ?
0.4 < 0.4² ?
0.4 < 0.16 ?

Mille excuses, je me suis emmêlé l'esprit avec la définition de la croissance...Donc finalement mon résultat doit être correcte.

[invite2220c077]

Exact, il l'est

[mimo13]

Un chose qui me gêne dans l'exercice 2.3 est ce que on doit déterminer les fonctions f qui vérifient les 2 relations ou pour chaque relation c'est fonction ???

[invite2220c077]

f doit vérifier les deux relations en même temps.

[mimo13]

f doit vérifier les deux relations en même temps.

Ok je vais voir avec !!

[mimo13]

Voici ma réponse a l'exercice 2.3 même si je sens qu'il y a une faille quelque part:

 Cliquez pour afficher

pour l'instant je vais me contenter de la deuxieme relation qui est :
Par intuition j'en suis arriver à dire que la seule fonction qui vérifie cette relation est .
Raisonnons par absurde supposons que on a en prenant on a
En prenant on obtient f(1)=0 contradiction donc la seul fonction qui vérifie cette relation est

[Seirios]

Voici ma réponse a l'exercice 2.3 même si je sens qu'il y a une faille quelque part:

 Cliquez pour afficher

pour l'instant je vais me contenter de la deuxieme relation qui est :
Par intuition j'en suis arriver à dire que la seule fonction qui vérifie cette relation est .
Raisonnons par absurde supposons que on a en prenant on a
En prenant on obtient f(1)=0 contradiction donc la seul fonction qui vérifie cette relation est

 Cliquez pour afficher

Tu démontres par l'absurde la négation de ton hypothèse, c'est-à-dire qu'il existe au moins un réel x tel que f(x)=0, et non que que pour tout réel x f(x)=0 (la négation du "pour tout" est "il existe au moins un").

[invite2220c077]

Voici ma réponse a l'exercice 2.3 même si je sens qu'il y a une faille quelque part:

Comme l'a signalé par Phys2, ta réponse n'est pas correcte. Par contre, il faut effectivement prouver que cette fonction est la seule solution qui satisfait ce système. Si tu veux un petit indice :

 Cliquez pour afficher

A l'aide de la première relation, montre que est paire

[invite652ff6ae]

Bonjour,

j'aimerais une petite piste pour montrer que le nombre est un entier. (qui est d'ailleurs égal à 1 !) Je me doute qu'il faut utiliser l'identité du haut mais je ne vois pas comment ?

[invite2220c077]

Salut,

 Cliquez pour afficher

Remarque que

Choisis judicieusement , et afin de résoudre une équation du troisième degré dont l'inconnue est le nombre de l'exercice.

[Thorin]

Comme l'a signalé par Phys2, ta réponse n'est pas correcte. Par contre, il faut effectivement prouver que cette fonction est la seule solution qui satisfait ce système. Si tu veux un petit indice :

 Cliquez pour afficher

A l'aide de la première relation, montre que est paire

Je rajoute quelque chose qui facilite la bonne vue de la seconde équation :

 Cliquez pour afficher

En posant a=x+y, et b=x-y (si ce n'était pas déjà fait), on tombe sur quelque chose de très connu, qui permet de vite voir ce qu'il faut dire pour conclure ensuite

[invite652ff6ae]

Salut,

 Cliquez pour afficher

Remarque que

Choisis judicieusement , et afin de résoudre une équation du troisième degré dont l'inconnue est le nombre de l'exercice.

Merci

 Cliquez pour afficher

Mais je ne vois toujours pas Il faut d'abord choisir a, b et c tels que a + b + c = 0 ? Dans ce cas là j'ai choisi , et c le nombre en question. Mais après l'équation ne donne rien...

[invite2220c077]

 Cliquez pour afficher

C'est en effet la bonne piste. Donc d'après l'implication précédente et simplifications, tu te ramènes à une équation du troisième degré ... Cherche une racine évidente (que tu connais déjà ...) et montre que c'est la seule racine réelle de cette équation . La racine trouvée est donc la valeur du nombre.

[invite381520c5]

Bonjour

C'est effectivement la bonne piste avec c=racine cubique de -1.

[invite652ff6ae]

 Cliquez pour afficher

C'est en effet la bonne piste. Donc d'après l'implication précédente et simplifications, tu te ramènes à une équation du troisième degré ... Cherche une racine évidente (que tu connais déjà ...) et montre que c'est la seule racine réelle de cette équation . La racine trouvée est donc la valeur du nombre.

Merci je crois avoir réussi.

 Cliquez pour afficher

On remarque que pour tous réels a,b et c :
Prenons , et
On a bien et donc c vérifie la relation : (1)

Posons .
Alors

car
car

Cette équation a pour racine évidente 1. Montrons que c'est la seule solution réelle de cette équation.
On a Or l'équation n'a pas de solutions réelles.
donc x = 1.
et comme ,

on a et donc est un entier.

Est-ce correct ?

[invite2220c077]

Exact

[invite652ff6ae]

Exact

 Cliquez pour afficher

Pour la question 3. du même exo, je raisonne de la même façon en remarquant que et donc après simplification.

Je trouve le triplet solution (0,0,0) et je pense que c'est le seul. Mais je vois pas comment le démontrer.