[TS+] Entraînement au Concours Général

[invite2220c077]

Pour le 1.9.3

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Sous réserve de montrer que le changement de variable est faisable, ton identité est bonne. Reste plus qu'à la simplifier encore plus ...

Pour le 1.9.1

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C'est correct, mais la trigonométrie hyperbolique n'est pas au programme, donc faudrait essayer de trouver une solution plus élémentaire .

Pour le 1.9.2

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Je n'ai pas discuté selon le signe de ce qu'il y'a sous la racine perso. Je te donne toutes les valeurs de à trouver, tu vérifieras si tu arrives à les avoir aussi :

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[bubulle_01]

Pour le 1.9.1 je vais réflechir à une méthode (On peut toujours poser x=sh(a) et y=sh(b) mais cela revient au même de toute manière)
En ce qui concerne le 1.9.3 :

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(on vérifie que ne donne aucune solution avec k compris entre 0 et 2).
Cela donne alors soit et là on a gagné ^^

Pour le 1.9.2 je te dirais mes résultats quand j'aurais un peu moins la flemme de calculer

[invitec317278e]

me voici de retour.

Ah d'accord, moi j'avais posé x = cosh u et y = sinh v.

Donc j'ai plus simple ?

Pour le 1.9.1 je vais réflechir à une méthode

en voici une sans trigo, toute aussi rapide :

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une fois qu'on a remarqué que , le résultat est trivial.

[bubulle_01]

Pour l'olympiade du Viet nam il me semble que je tiens quelque chose :

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Nécessairement et :
Si alors est un rationnel que l'on peut écrire avec .
Dans ce cas, soit est entier et dans ces cas la, ne peut être entier.
Soit est rationnel, et alors, pour que il faut que les deux rationnels valent soit et qui n'est pas solution du problème.
Ainsi, et
Maintenant, et avec . On prend pour convention que le produit vaut 1 si p ou q vaut 0.
Alors, . En supposant cette somme vaut :

Nécessairement, divise
Or, si doit diviser ce qui est impossible. Ainsi ou .
Si q=0 alors y=n et et en raisonnant modulo 3, le produit ne peut avoir plus de 2 termes, ainsi et on recherche les différentes solutions de :



La seule solution intervient dans la deuxième équation, avec qui donne le couple .
Sinon, et l'équation à résoudre devient :

De la même manière, et doivent être des puissances de 3.
Ainsi, on cherche les solutions de :



En l'occurence, elles n'admettent aucune solution.
Finalement, le seul couple solution est

Voilà, ça semble un peu fastidieux comme raisonnement, c'est vraiment pas exempt d'une erreur.
Il doit sûrement y avoir plus simple, mais il me semble que ça a le mérite de marcher ^^

[bubulle_01]

Arf ma première phrase est fausse si on considère x=0 et n=1.
Cela rajoute un triplet solution (2,0,1) (Ca ne pose pas de problème au raisonnement néanmoins)
PS: dans mon post précédent, remplacer "couple" par "triplet" bien sûr.

[bubulle_01]

Pour l'olympiade de Russie :

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En annulant les termes en a avec un simple pivot de gauss et en isolant b on a si c et d ne sont pas nuls simultanéments (on vérifie que ca ne donne aucune solution).
Or dés que , et donc la divisibilité n'est pas possible.
Ainsi soit et pour des raisons de divisibilité, le numérateur ne peut être qu'égal à 0 soit et .
Le système se résume alors à soit ( et ou et ).
Cela fournit deux quadruplets et
Soit et alors ou .
Le premier cas fournit aisément
Le deuxième .
Ainsi, il n'y a que 4 éléments de qui sont solutions.

[bubulle_01]

Désolé pour le quadruple post ^^
J'ai regardé un peu la suite.
Pour le 3.11.4, le premier problème on doit résoudre :

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nop ?

Je me suis penché aussi sur le 3e et le 5e.
Par hasard,

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On n'aurait pas et pour le 3e, avec la suite définie dans l'exo 5 ?

[invite9a322bed]

Bonjour,

@ Zweig : j'ai regardé un peu le pdf, si tu as fait tous les exercices qu'il y a dedans (tout seul ou presque), tu risques de t'ennuyer en prépa

Il va surement s'ennuyer en arithmétique Il y a beaucoup de choses encore à apprendre en prépas : algèbre linéaire, topologie...

Très bon niveau en mathématiques ce fameux Zweig en tout cas ! Un peu dommage qu'il n'a pas demandé une prépas prestigieuse, où il risque de s'ennuyer moins !

[invite9a322bed]

Pour bubulle, je crois qu'il faut justifier tes changements de variables !

[bubulle_01]

Euh ... lesquels ?

[invite9a322bed]

La 1.9.2 par exemple !

[invitec317278e]

Il a justifié : "d'après la première égalité".

[invitec317278e]

Un petit exo :

Première question du concours mines-pont, 2009.

soit une suite finie de réels strictement positifs.

Soit une suite finie de réels.

Montrer que si, pour tout x réel, , alors, la suite est la suite nulle.

(on dit que la famille des applications est libre, en algèbre linéaire).

[invite2220c077]

Salut,

Comme est finie, alors il existe un indice tel que

En divisant la relation par on obtient :



Or pour tout , avec , on a : , d'où par passage à la limite :



Par suite, . En réitérant le procédé avec les termes de la suite restants, on montre que coïncide avec la suite nulle.

[invite2220c077]

Sauf que s'il y'a plusieurs max, ça ne marche plus ....

[invitec317278e]

oui, j'ai évidemment oublié de les préciser deux à deux distincts, les a_n

[invite2220c077]

Ah d'accord, donc c'est juste ?

En fait, si les termes de la suite (a_n) n'étaient pas deux à deux distincts, on aurait pu s'en sortait si la suite (b_n) était dans R+.

[invitebfd92313]

Je précise quand meme un détail, dans le mines-pont c'était pour tout x entre 0 et 1 ^^

[invite2220c077]

Dans ce cas là, on prend et on fait tendre vers 0 ?

[invitec317278e]

oui, c'est l'idée.
Et ne surtout pas dériver, comme beaucoup de gens l'ont fait, si je me souviens bien de ce qui se disait à la sortie de l'épreuve

[invite2220c077]

Oui, je pense qu'ils ont voulu appliquer la technique lorsque les étaient du

[invitec317278e]

en revanche, si les a_i sont des entiers, alors, on peut dériver, là ça marche

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

à mon tour de proposer un exercice (exercice super classique, que je crois avoir eu en colle en sup)

Soit une application additive, c'est-à-dire que :


Questions :
- Montrer que est -linéaire, ie que pour tout et pour tout on a :


- Et si est de plus continue ?
(Il faut utiliser ici la densité de dans , donc je ne sais pas si vous pourrez faire cette question...)

Pour la première question, une démarche si besoin :

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Montrer que pour entier.

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Montrer ensuite que pour entier non-nul.

[invitec317278e]

En fait, on peut supposer f continue qu'en un seul point, par exemple en 0, ça marche encore.

[invite2220c077]

Salut,

1) On pose . On a clairement pour tout . Une récurrence fournit , pour tout entier naturel .

Maintenant, on a et en prenant , on en déduit pour tout rationnel . Par suite, est impair. Donc f(n) = an est valable pour

Pour étendre cela à , une récurrence directe fournit pour tout rationnel et tout naturel . D'où :



D'où . Ce qui assure que est -linéaire.

2) Pour tout rationnel , . Soit un réel. Il existe une suite de rationnels qui converge vers , par densité de dans . On a donc pour tout naturel , , soit par passage à la limite : . Mais comme est continue, on a aussi , d'où , ce qui assure que f est -linéaire.

[invite2220c077]

Désolé, j'ai lu trop vite, j'ai cru qu'il fallait montrer que f étaient linéaires sur R et Q ...

[invite652ff6ae]

Pour le problème 2.5, je trouve un résultat incomplet, mais je n'arrive pas à voir où mon raisonnement est incorrect :

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La fonction f vérifiant l'inégalité pour tous réels x et y la vérifiera également pour tous réels x et y distincts.

Alors de , on déduit .

En faisant tendre y vers x, on devrait ainsi obtenir pour tout réel x. Donc f devrait être constante ; la réciproque est alors immédiate.

Pourtant, on voit que la fonction identité devrait également être solution, donc mon raisonnement est forcément incomplet, mais je ne vois pas où...

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Je vois pas comment on obtient , c'est plutôt non ?

[invitec317278e]

C'est à cause des valeurs absolues.

[invite652ff6ae]

C'est à cause des valeurs absolues.

Effectivement, je l'avais zappé.
Merci

[invite652ff6ae]

Pour le problème 2.5, je trouve un résultat incomplet, mais je n'arrive pas à voir où mon raisonnement est incorrect :

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La fonction f vérifiant l'inégalité pour tous réels x et y la vérifiera également pour tous réels x et y distincts.

Alors de , on déduit .

En faisant tendre y vers x, on devrait ainsi obtenir pour tout réel x. Donc f devrait être constante ; la réciproque est alors immédiate.

Pourtant, on voit que la fonction identité devrait également être solution, donc mon raisonnement est forcément incomplet, mais je ne vois pas où...

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J'ai plusieurs questions : pour avoir f', il faut plutôt faire tendre x vers y non ? Et dans ce cas là, on obtient f'(y) = 0, on peut faire comme ça ?