Résolution équation avec martice

[leo555]

Bonjour,

Voila je sais résoudre des équations à 3 inconnues mais je voudrais savoir les résoudres avec des matrices je crois que l'on appel cette méthode gauss-Jordan.

Voila un exemple :

x + y + z = 6
x- 2y +3z = 6
2x + y - z= 1

je la met dans une matrice de m = 3 lignes et n = 3 colones je crois que l'on appel sa matrice carré ( je suis pas sur).

1 1 1 6

1 -2 3 6

2 1 -1 1


Voila je ne sais plus calculer à partir de là

a b c d

e f g h

i j k l


si vous pouvez me montrez avec les lettres après je fais celui du haut.

Si je fais la méthode normale le résultat c'est (x,y,z) => (1,2,3)

Merci encore pour votre aide
-----

[fiatlux]

salut

y'a un exemple ici avec gauss-jordan
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...ation_de_Gauss

[leo555]

Je te remercie fiatlux pour ton message je vais regarder mais si une personne pouvais me monter l'exemple de lettres sa m'arrangerais.

a+

[fiatlux]

un exemple avec des lettres n'a aucun sens, puisque le choix des opérations qu'on fait pour résoudre le système dépendent entièrement des valeurs dans la matrice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited63d3707]

ta matrice n'est pas carré il faut prendre uniquement les coefficients devant ke x le y et le z

[invite5735c9fd]

Ton système d'équations est le suivant
x + y + z = 6
x- 2y +3z = 6
2x + y - z= 1

Comme la dit niclemad il faut prendre les coefficients relatifs aux inconnues (x,y et z)

Ta matrice, que l'on notera A, sera :

A = 1 1 1
1 -2 3
2 1 -1

On note également le vecteur B :
B= 6
6
0

Le système d'inconnue (x,y,z) peut s'écrire sous forme vectorielle, notée X (en majuscule, pour ne pas confondre avec l'inconnue x)

X= x
y
z

Tu as donc un stsyème d'équation matricielle suivant
A*X=B
La solution est :
X=(A^-1)*B où A^-1 est l'inverse de A

[leo555]

Merci pour vos réponses, je suis un adepte des solutions simple et qui marche de partout dans l'exemple que j'avais vue voilza comment on résolvait cette matrice pour x par exemple:


delta= 1* (-2*-1-1*3)-1(1* -1-2*3) +1(1*1-2*-2)=11

delta1=6(-2*1..........................= 11

x=delta1/delta=1

Voila comment ce présentais l'exemple que j'avais mais le problème
je ne sais pas ed qu'elle 1 il sagit c'est pour cela que je voulias le faire avec les lettres.

[invite5735c9fd]

Merci pour vos réponses, je suis un adepte des solutions simple et qui marche de partout dans l'exemple que j'avais vue voilza comment on résolvait cette matrice pour x par exemple:


delta= 1* (-2*-1-1*3)-1(1* -1-2*3) +1(1*1-2*-2)=11

delta1=6(-2*1..........................= 11

x=delta1/delta=1

Voila comment ce présentais l'exemple que j'avais mais le problème
je ne sais pas ed qu'elle 1 il sagit c'est pour cela que je voulias le faire avec les lettres.

Ca veut dire quoi la solution est x=1 ?

Dans ton problèm l'inconnue est un ENSEMBLE de réels (x et y et z) donc il faut trouver 3 valeurs.

Je vais te faire les calculs

On a A*X=B avec A matrice carrée d'ordre 3 et X et B des vecteurs.

X = A^-1*B

Il faut donc calculer l'inverse de A

Il faut d'abord calculer le déterminant de A, et si celui ci est nul ca veut dire que ton système d'équation n'admet aucune solution (ou une infinité mais je suis plus sûr)

le déterminant de A tu l'as trés bien calculé sous le nom delata=11 Bravo!!!

Ensuite delta1 ne veut rien dire pour moi.

La matrice inverse de A vaut

A^-1 = (1/11)*(-1 2 5
7 -3 -2
5 1 -3)

Je l'ai fait sous MATLAB mais pour être honnete je ne me souviens plus des formules d'inversion d'une matrice 3*3 mais un petit tour sur wikipedia ou google te renseigneras

Bref il faut maintenant multiplier A^-1 par B

On a X=A^-1*B= (1/11)*(-1*6+2*6+5*1
7*6-3*6-2*1
5*6+1*6-3*1)

X=A^-1*B=(1/11)*(-6+12+5
42-18-2
30+6-3)

X=A^-1*B=(1/11)*(11
22
33)

X=A^-1*B=(1
2
3)

On a bien X=(1,2,3) qui correspond bien aux valeurs de (x,y,z) que tu as trouvé toi-même par la méthode classique.