Bonjour
Cela fait deux jours que je m'interesse aux principe des tiroirs que je trouve assez surprenent .
J'ai un petit probleme que je n'arrive pas a resoudre avec le principe des tiroirs , j'ai reussi a le resoudre d'une facon geometrique :
"On colore un plan avec trois couleurs le bleu le rouge et le jaune. Montrer qu'il existe deux points de la meme couleur distants de 1m"
J'aimerais bien savoir comment resoudre ce probleme avec le principe des tiroirs.
Merci
on prend un cercle d'un mètre de diamètre, on prend 4 points au hasard dans ce cercle.
Principe des tiroirs : 4 points, mais colorés de 3manières seulement, donc, la conclusion en découle
École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale
Je ne suis pas d'accords
1/ le cercle est de rayon 1m non de diametre
2/ si le centre est rouge il n'est pas necessaire qu'un des 4 points soit rouge ils peuvent etre bleu et jaune ..
En fait en prenant 4 point tu demontre juste qu'au moins 2 d'entre eux sont de meme couleur tu ne demontre pas que la distance qui les separe est de 1m ..
Deux points sur un cercle de 1 m de diamètre ne sont pas nécessairement à 1 m l'un de l'autre.
Cordialement,
On prend un cercle de 1 m de rayon et on y dessine un hexagone inscrit de côté 1 m . Ca fait 7 points et on voit assez bien que 2 au moins ont la même couleur et qu'ils sont distants de 1 m.
Faut que je change de lunettes. J'arrive à voir mal: rouge au centre, et alterné bleu/jaune sur la périphérie.Envoyé par Jeanpaul
(Et cette coloration s'étend à tout le pavage par triangles...)
Cordialement,
Oui JeanPaul ta demonstration est fausse
Voici un contre exemple en images :
http://img151.imageshack.us/i/contreexemple.png/
c'est vite fait j'ai pas pu dessiner un cercle mais tu peux l'imaginer ca ne changera rien
Quelle est ta solution géométrique?
Cordialement,
Bon je vous poste ma demonstration geometrique
Soit :
A un point jaune ,B un point rouge tel que AB=
On trace le cercle O1 de centre A de rayon 1m
On trace le cercle O2 de centre B de rayon 1m
O1 et O2 se coupent en 2 point qu'on nomme C1 et C2.
On demontre que C1C2=1m (la demo est triviale )
On se retrouve devant 3 cas :
1/L'un des points C est jaune . Comme AC=1m donc il existe 2 point jaune dont la distance est 1m
2/L'un des points C est rouge . Comme BC=1m donc il existe 2 point rouge dont la distance est 1m
3/ Les deux points C1 et C2 sont bleus et comme C1C2=1m (deja demontre) alors il existe deux points bleus distant de 1m
Dans les 3 cas deux point de la meme couleur sont distant de 1m
Meme si j'ai reussi a resoudre le probleme (enfin je pense... ) je cherche toujours une methode avec le principe des tiroirs ( si elle existe bien sur)
Le point B peut ne pas exister.Soit :
A un point jaune ,B un point rouge tel que AB=
Je réflechis au problème et je t'informe si je trouve quelque chose.
Il doit necessairement exister :
Raisonnons par l'absurde:
S'il n'existe aucun point B de couleur rouge ou bleu distant dede A qui est jaune alors B est necessairement jaune donc tous les points distants de
Par suite il existe necessairement un point rouge/bleu distant de
Je ne suis pas certain que l'hypothèse de départ implique que les trois couleurs sont présentes.
Je pense simplement que seul trois couleurs sont utilisées.
Pour moi quand on dit on colorie avec 3 couleurs ==> 3 couleurs presentes
Si une couleur est presente y a pas de probleme
Si deux couleurs sont presente il est tres facile de montrer que 2 point de meme couleur sont distant de 1m ( principe des tiroirs + triange equilateral)
Donc un tel probleme "n'a de sens" que si les 3 couleurs sont presentes
Néanmoins on peut résoudre l'exo avec ta démonstration :
Si le plan est colorié d'une unique couleur, la solution est directe.
Sinon on utilise ton raisonnement.
Oui on est d'accord.
Simplement je trouvais que tu supposais l'existence de ce B.
Bien que la démonstration de son existence est simple (dans le cas ou l'on n'a pas un plan monochromatique), il se peut que dans certains cas cela soit plus compliqué.
D'ailleurs je ne pense pas qu'il y ait plus simple comme démonstration ...
Ce que je recherche c'est de savoir si on peut resoudre le probleme avec le principe des tiroirs. Je pense qu'il est beaucoup plus interessant de le resoudre avec ce principe si c'est possible.
Est ce que tout le monde est convaincu par ma demo ?
Personne n'a une idee ?
Plus le temps passe plus j'ai tendence a croire que c'est impossible de demontrer avec le principe des tiroirs
Un bouquin que j'ai donne deux autres solutions, mais aucune que je présenterais comme utilisant le principe des tiroirs.
Cordialement,
On montre un résultat "plus fort". Montre qu'on peut trouver deux points de la même couleur distant de 1 ou
J'te laisse réfléchir ...
C'est moins fort. Puisque la distance de 1 est en fait quelconque, la question une fois démontrée montre qu'il existe nécessairement une paire de couleur identique à distance 1 et une autre paire de couleur identique à distance
Cordialement,
J'ai pas deja prouve deux point de la meme couleur distant de 1m ?On montre un résultat "plus fort". Montre qu'on peut trouver deux points de la même couleur distant de 1 ou
J'te laisse réfléchir ...
Ma demo n'est pas valable ?
Je m'y met pour la
Pour la
Rappel de la demo de 1m
pour laBon je vous poste ma demonstration geometrique
Soit :
A un point jaune ,B un point rouge tel que AB=
On trace le cercle O1 de centre A de rayon 1m
On trace le cercle O2 de centre B de rayon 1m
O1 et O2 se coupent en 2 point qu'on nomme C1 et C2.
On demontre que C1C2=1m (la demo est triviale )
On se retrouve devant 3 cas :
1/L'un des points C est jaune . Comme AC=1m donc il existe 2 point jaune dont la distance est 1m
2/L'un des points C est rouge . Comme BC=1m donc il existe 2 point rouge dont la distance est 1m
3/ Les deux points C1 et C2 sont bleus et comme C1C2=1m (deja demontre) alors il existe deux points bleus distant de 1m
Dans les 3 cas deux point de la meme couleur sont distant de 1m
et voila demo faite
On peu generaliser pour n'importe quelle valeur ce qui donne le resultat suivant :
Dans un plan colorie avec 3 couleur il existe toujours 2 point de meme couleur distant de n'importe quelle valeur
Assez surprenant quand meme , faut verifier la demo ?
Qui te dit qu'il existe bien un point A et B distant de
Oui, plutôt
Cordialement,.
J'ai deja demontrer dans un message precedant.Qui te dit qu'il existe bien un point A et B distant de
En fait c'est par l'absurde:
S'il n'y a pas deux point de couleurs differentes distant de
Il faut juste imaginer un cercle dont le centre est un point jaune et de rayon
Donc il y a 2 point de couleurs differentes distant de
Sinon j'aimerais bien voir comment tu demontre que 2 point de meme couleurs sont distant de 1m
Hypothèse :On suppose qu'il n'existe pas de points distants de 1m.
soient (01,C1,C2) et (O2,C1,C2) deux triangles équilatérales, de côtés de longueurs 1m, ayant un côté en commun (C1,C2).
on a trois couleurs et quatre points O1, C1,O2 et C1 => principe des tiroires => au moins deux points sont de même couleur=> par hypothèse O1 et O2 sont de même couleur(la seule paire de points dont la distance est différente de 1m). => tout deux points distant de racine carrée (3) sont de même couleur...à conclure par l'absurde
Vous avez trouvé la suite de mon raisonnement!!!!!!!!!!!
Je reprends et je compléte ma démonstration eurékaaaaaaaaaaaa
Démonstration :
(par l'absurde )
Hypothèse :On suppose qu'il n'existe pas de points distants de 1m et de même couleur.
soient (01,C1,C2) et (O2,C1,C2) deux triangles équilatérales, de côtés de longueurs 1m, ayant un côté en commun (C1,C2).
on a trois couleurs et quatre points O1, C1,O2 et C1 => principe des tiroires => au moins deux points sont de même couleur=> d'après l'hypothèse, O1 et O2 sont de même couleur(la seule paire de points dont la distance est différente de 1m). => (*) tout deux points distant de racine carrée (3) métres, sont de même couleur.
Soient (ABC) un triangle isocèle tel que : BC=1m et AB=AC= racine carrée (3) mètres. On a A et B sont de même couleur et A et C sont de même couleur (d'après (*)).
D'où B et C sont de même couleur et distant de 1m. (contradiction avec l'hypothèse)
Conclusion : Il existe deux points de même couleur distant de 1m.
