[Ts] Vérification récurrence (1+x)^n ≥ 1 + nx

[invitec38e3ca5]

Bonsoir!! Une récurrence à vérifier:

Soit x un réel positif ou nul.
Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n, (1+x)^n ≥ 1 + nx

Soient
u_n = (1+x)^n
v_n = 1 + nx


1°) Vrai pour un n quelconque?
Pour n = 0
(1+x)^n ≥ 1 + nx
(1+x)^0 ≥ 1 + 0x
(1+x)^0 ≥ 1

(1+x)^0 est bien égal à 1. Donc vrai pour u_0 et v_0.


2°) Vrai pour u_(n+1) et v_(n+1) ?

On suppose que pour un certain entier n :
(1+x)^n ≥ 1 + nx (hypothèse de récurrence)


On va montrer que :
un+1 ≥ vn+1

(1+x)^(n+1) ≥ 1 + (n+1) x
(1+x) (1+x)^n ≥ 1 + nx + x
(1+x) un ≥ vn + x

Or, on a prouvé que u_n ≥ v_n.
De plus, 1+x ≥ x

Donc u_(n+1) ≥ v_(n+1)

=> Mais là j'ai peur parce que je crois me souvenir que pour montrer quelque chose on n'était pas sensé partir de ce qu'on voulait démontrer... Comment faire ça proprement?

Merci
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[invite5150dbce]

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n (1+x)^n ≥ 1 + nx avec x≥0
(1+x)^0=1 car 1+x est différent de 0
1+0x=1
Donc (1+x)^0≥ 1 + 0x
La propriété est donc vraie au rang 0

Supposons que (1+x)^k ≥ 1 + kx avec k entier naturel
(1+x)^(k+1)=(1+x)^k*(1+x)
On sait d'après l'hypothèse de récurrence que (1+x)^k ≥ 1 + kx
Or comme x≥0, alors 1+x≥0 donc (1+x)^k*(1+x)≥(1 + kx)(1+x)
(1 + kx)(1+x)=1+x+kx+kx²=1+(k+1)x+k x²≥ 1 + (k+1)x
Par conséquent (1+x)^(k+1)≥ 1 + (k+1)x
La propriété est donc vraie au rang k+1

Il en résulte que pour tout entier naturel n (1+x)^n ≥ 1 + nx avec x≥0

[invitec38e3ca5]

Merci pour la réponse hhh86.
J'attendais plutôt un guidage sur les éventuelles erreurs mais comme j'étais dans le bon sens de la réponse mais mal mis en forme, c'est ce qu'il me fallait.

[invite5150dbce]

J'attendais plutôt un guidage sur les éventuelles erreurs

Désolé alors

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec38e3ca5]

Non non!! C'est pas grave c'est bon au contraire, il n'y avait rien à corriger sinon la mise en forme mathématique, j'étais pas si loin sur le plan du raisonnement

Merci

[invite0b85be6c]

fais ta dém en partant de (1+x)^n >=1+nx en multipliant les 2 membres par
(1+x)

[invite5150dbce]

Cela a déjà était fait merci de bien vouloir prendre connaissance des posts précédents