[Ts] Vérification récurrence f(^n) (x) = cos (x+nπ/2)

[Alegs]

(re)bonsoir
C'est un peu la cerise sur le gâteau celui-là, et je coince vraiment sur la fin, je crois savoir comment faire mais je ne sais pas mener cela à bien.

Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = cos x.
Démontrer par récurrence que : Pour tout entier n, f⁽ⁿ⁾(x) = cos (x + nπ/2)
(On rappelle que f(^n) désigne la fonction dérivée nième de la fonction f et que la dérivée 0ième de la fonction f est la fonction f : f(0) = f )

1°) Vrai pour un entier ?
Pour n = 0:

f(^n)(x) = cos (x+nπ/2)
f(^0)(x) = cos (x+0π/2)
f(^0)(x) = cos (x)

Pour tout entier naturel n, appelons S(n) la proposition f(^n)(x) = cos (x+nπ/2)
1°) Vérifions que la proposition S(0) : f(^n)(x) = cos (x+nπ/2) est vraie.
S(0) = cos x d’après l’énoncé ; f(^0)(x) = cos (x+0π/2) donc f(^0)(x) = cos (x)
La proposition S(0) est vraie.


2°) Supposons que la proposition S(n) : « f(^n)(x) = cos (x+nπ/2)» est vraie pour un certain entier naturel n et démontrons que la proposition f(^(n+1)) (x) = cos (x+(n+1) π/2) est vraie.
f(^(n+1))(x) = (cos (x+(n+1) π/2))’
= (cos (x + n π/2 + π/2))’
= (- sin (x + n π/2))’
= - cos (x + nπ/2)

Et là je pense qu'il suffirait de dire que n.π/2 est en fait modulo π/2, et ça permettrait de s'affranchir du signe négatif devant le cosinus!!!!
Mais comment dire ça de façon mathématique?
-----

[MMu]

Attention , ..

[Alegs]

Merci MMu.


Donc là j'ai 2 solutions:

1) Soit je fais le tour du cercle trigo dans le sens anti-horaire:

f(n+1)(x) = (cos (x+n π/2))’
= (cos (x + n π/2))’
= - sin (x + n π/2)
= - sin (x + (n-1) π/2 + π/2)
= - cos (x + (n-1) π/2)
= - cos (x + (n-2) π/2 + π/2)
= sin (x + (n-2) π/2)
= sin (x + (n-3) π/2 + π/2)
= cos (x + (n-3) π/2)

2) Soit je le fais dans le sens horaire:
f(n+1)(x) = (cos (x+n π/2))’
= (cos (x + n π/2))’
= - sin (x + n π/2)
= - sin (x + (n+1) π/2 - π/2)
= cos (x + (n+1) π/2)



Après par contre je ne sais pas quoi faire... Je suis bien retombé sur un cos et j'ai n+1 dans ma 2ème version... Est ce que ça suffit pour prouver la récurrence?

Je vais continuer de creuser, mais n'hésitez pas à répondre en attendant.
(ça serait trop bête s'il suffisait que je m'arrête là )

Merci

[invite0b85be6c]

(re)bonsoir
C'est un peu la cerise sur le gâteau celui-là, et je coince vraiment sur la fin, je crois savoir comment faire mais je ne sais pas mener cela à bien.



1°) Vrai pour un entier ?
Pour n = 0:

f(^n)(x) = cos (x+nπ/2)
f(^0)(x) = cos (x+0π/2)
f(^0)(x) = cos (x)

Pour tout entier naturel n, appelons S(n) la proposition f(^n)(x) = cos (x+nπ/2)
1°) Vérifions que la proposition S(0) : f(^n)(x) = cos (x+nπ/2) est vraie.
S(0) = cos x d’après l’énoncé ; f(^0)(x) = cos (x+0π/2) donc f(^0)(x) = cos (x)
La proposition S(0) est vraie.


2°) Supposons que la proposition S(n) : « f(^n)(x) = cos (x+nπ/2)» est vraie pour un certain entier naturel n et démontrons que la proposition f(^(n+1)) (x) = cos (x+(n+1) π/2) est vraie.
f(^(n+1))(x) = (cos (x+(n+1) π/2))’
= (cos (x + n π/2 + π/2))’
= (- sin (x + n π/2))’
= - cos (x + nπ/2)

Et là je pense qu'il suffirait de dire que n.π/2 est en fait modulo π/2, et ça permettrait de s'affranchir du signe négatif devant le cosinus!!!!
Mais comment dire ça de façon mathématique?

tu t'y prends mal au départ. C'est cos(x+npi/2) qu'il faut dériver

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alegs]

Merci Mamie mais j'en ai tenu compte dans mon dernier post

f(n+1)(x) = (cos (x+n π/2))’
= (cos (x + n π/2))’
= - sin (x + n π/2)
= - sin (x + (n-1) π/2 + π/2)
= - cos (x + (n-1) π/2)
= - cos (x + (n-2) π/2 + π/2)
= sin (x + (n-2) π/2)
= sin (x + (n-3) π/2 + π/2)
= cos (x + (n-3) π/2)

2) Soit je le fais dans le sens horaire:
f(n+1)(x) = (cos (x+n π/2))’
= (cos (x + n π/2))’
= - sin (x + n π/2)
= - sin (x + (n+1) π/2 - π/2)
= cos (x + (n+1) π/2)



Après par contre je ne sais pas quoi faire... Je suis bien retombé sur un cos et j'ai n+1 dans ma 2ème version... Est ce que ça suffit pour prouver la récurrence?

Je vais continuer de creuser, mais n'hésitez pas à répondre en attendant.
(ça serait trop bête s'il suffisait que je m'arrête là )

Merci

[laloutaieb]

si je peut me permettre aleg tu a fais une erreur dans t'on raisonnent de récurrence en effet tu doi partir de l(hypothèse de récurrence et non de la chose a prouver
Ps: je suis en Terminal S donc pt que ça se fait dans le supereiur mais pas a mon niveaux

[laloutaieb]

vous dite que :

Attention , [TEX]f^{(n+1)}(x)= (f^{(n)}(x))'=..

Mais comment trouver vous le moyen de prouver cette égalité et si elle est vrai s'applique t'elle a toute les fonction (ps: je parle de la premier égalité)

[ansset]

d'une manière générale :
cos(x+pi/2)=cos(x)cos(pi/2)-sin(x)sin(pi/2)=-sin(x)

donc
f(n+1)(x)=cos'(x+npi/2)=-sin(x+pi/2)=cos(x+npi/2+pi/2)=cos(x+(n+1)pi/2)

[gg0]

vous dite que :

Mais comment trouver vous le moyen de prouver cette égalité et si elle est vrai s'applique t'elle a toute les fonction (ps: je parle de la premier égalité)

Cette égalité est la définition (récurrente) de la dérivée n-ième (accompagnée de f⁽⁰⁾=f).

Cordialement.