exercices sur les Nombres complexes [TS]

[invite9b51effd]

Bonjour, J'ai un exercice à faire sur les nombres complexes mais je bloque sur celui-ci :

On considère les nombres complexes Z_n définis, pour tout entiers naturel n par; Z₀=4 et Z_n+1= ((1+i)/2)xZ_n

1) Ecrire sous forme algébrique et exponentielle les nombre complexes Z₁ Z₂ Z₃ Z₄ Z₅

2) Montrer que, pour tout entier naturel n, le triangle OM_nM_n+1 est rectangle et isocèle en M_n+1. (On pourra considérer le nombre complexe (Z_n+1-Z_n)/ Z_n+1 )

3) Pour tout entier naturel n, on pose: d_n= |Z_n+1-Z_n|
a) Justifier que, pour tout n, on a d_n≠0
b) Montrer que (d_n) est une suite géométrique de raison \/¯2/2 et de premier terme \/¯ 2
c) Interpréter géométriquement chacun des nombres d_n
d) Exprimer en fonction de n la longueur L_n de la ligne brisée (M₀,M₁,...,M_n)
e) déterminer la limite de L_n lorsque n tend vers +inf

Je bloque à la 2) ... Pouvez-vous me venir en aide. Merci d'avance
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[invite803a8ebc]

salut, heu... Pierre-Baptiste? pour le PB de ton pseudo...
déjà, demande toi que représente (Z_n+1-Z_n)/ Z_n+1, calcule le et utilise l'argument et le module de ce complexe

[invite9b51effd]

(Z_n+1-Z_n)/ Z_n+1, représente la distance OM_n+1

Mais je bloque toujours,
Parce que pour montrer qu'un triangle OM_nM_n+1 est rectangle et isocèle .. On calcule la distance entre OM_n+1 et celle entre OM_n si elles sont égales le triangle est isocèle. Et pour savoir s'il est rectangle on utilise Pythagore..
Or ici, on ne connait pas la distance OM_n et OM_n+1

[invite803a8ebc]

non, cela ne représente pas la distance OM_n+1.
essai de remplacer par un quotient d'affixe
(Z_n+1 est l'affixe de M_n+1 et Z_n celle de M_n, donc Z_n+1+Z_n est l'affixe de ? , idem pour le dénominteur)
Avec les complexes, plus besoin de passer par Pythagore, calcule ce que cela vaut, tu verras, le résultat est assez simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b51effd]

la distance M_nM_n+1 ?!

[invite803a8ebc]

(cours)
/!\un complexe n'est pas égale à une distance.
que trouve tu après simplification pour (Z_n+1+ Z_n) / Z_n+1 ?

[invite9b51effd]

J'ai aucun souvenir de çà . Enfin tanpis
Une fois simplifiée je trouve, (-1+i)/(1+i)

[invite803a8ebc]

vérifie dans ton cours, il doit y être je pense.
sinon ta simplification est juste, mais tu peut simplifier encore plus en multipliant haut et bas par le conjugué du dénominateur, méthode à retenir car elle simplifie dans beaucoup de cas les fractions de complexes

[invite9b51effd]

Exact je n'y avais pas pensé .. et maintenant je trouve en simplifiant i

[yaesen]

Regarde ce qu'il advient d'un complexe multiplié par cette valeur. La suite devrait t'apparaître plutôt évidente.

Bon courage.

[invite803a8ebc]

oui c'est ça! donc et
tu peux en déduire plein de choses

[invite9b51effd]

arg(i)= cos(pi/2) +isin(pi/2)
|i|=1

[invite803a8ebc]

pour le module oui.
mais pour l'argument non. fait attention : on a bien i=cos pi/2 +isin pi/2 donc arg(i)=pi/2 [pi], l'argument c'est l'angle dans le cosinus et sinus, tu verrais peut être mieux en écrivant on voit tout de suite que l i l =1 et
bien, que peux tu en déduire ?

[invite9b51effd]

Que le triangle est isocèle et rectangle en M_n+1

[invite803a8ebc]

euh ouais c'est ça mais tu vas un peu vite, pourquoi rectangle? pourquoi isocèle?

[invite9b51effd]

le triangle est rectangle car l'angle OM_n+1M_n est de pi/2 . et isocèle car le module est de 1

[invite803a8ebc]

oui c'est ça, en un peu plus rédigé, je sais pas si ça suffit pour ta prof:
donc donc rectangle en M_n+1
et donc donc isocèle en M_n+1
bonne chance pour la suite

[invite9b51effd]

Pour la question 3 je n'arrive pas .. pouvez-vous me venir en aide ?! merci