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exercices sur les Nombres complexes [TS]

  1. PB1993

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Messages
    13

    exercices sur les Nombres complexes [TS]

    Bonjour, J'ai un exercice à faire sur les nombres complexes mais je bloque sur celui-ci :

    On considère les nombres complexes Zn définis, pour tout entiers naturel n par; Z0=4 et Zn+1= ((1+i)/2)xZn

    1) Ecrire sous forme algébrique et exponentielle les nombre complexes Z1 Z2 Z3 Z4 Z5

    2) Montrer que, pour tout entier naturel n, le triangle OMnMn+1 est rectangle et isocèle en Mn+1. (On pourra considérer le nombre complexe (Zn+1-Zn)/ Zn+1 )

    3) Pour tout entier naturel n, on pose: dn= |Zn+1-Zn|
    a) Justifier que, pour tout n, on a dn≠0
    b) Montrer que (dn) est une suite géométrique de raison \/¯2/2 et de premier terme \/¯ 2
    c) Interpréter géométriquement chacun des nombres dn
    d) Exprimer en fonction de n la longueur Ln de la ligne brisée (M0,M1,...,Mn)
    e) déterminer la limite de Ln lorsque n tend vers +inf

    Je bloque à la 2) ... Pouvez-vous me venir en aide. Merci d'avance


     


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  2. matthieu174

    Date d'inscription
    février 2009
    Âge
    21
    Messages
    293

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    salut, heu... Pierre-Baptiste? pour le PB de ton pseudo...
    déjà, demande toi que représente (Zn+1-Zn)/ Zn+1, calcule le et utilise l'argument et le module de ce complexe
     

  3. PB1993

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Messages
    13

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    (Zn+1-Zn)/ Zn+1, représente la distance OMn+1

    Mais je bloque toujours,
    Parce que pour montrer qu'un triangle OMnMn+1 est rectangle et isocèle .. On calcule la distance entre OMn+1 et celle entre OMn si elles sont égales le triangle est isocèle. Et pour savoir s'il est rectangle on utilise Pythagore..
    Or ici, on ne connait pas la distance OMn et OMn+1
     

  4. matthieu174

    Date d'inscription
    février 2009
    Âge
    21
    Messages
    293

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    non, cela ne représente pas la distance OMn+1.
    essai de remplacer par un quotient d'affixe
    (Zn+1 est l'affixe de Mn+1 et Zn celle de Mn, donc Zn+1+Zn est l'affixe de ? , idem pour le dénominteur)
    Avec les complexes, plus besoin de passer par Pythagore, calcule ce que cela vaut, tu verras, le résultat est assez simple.
     

  5. PB1993

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Messages
    13

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    la distance MnMn+1 ?!
     


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  6. matthieu174

    Date d'inscription
    février 2009
    Âge
    21
    Messages
    293

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    (cours)
    /!\un complexe n'est pas égale à une distance.
    que trouve tu après simplification pour (Zn+1+ Zn) / Zn+1 ?
     

  7. PB1993

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Messages
    13

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    J'ai aucun souvenir de çà . Enfin tanpis
    Une fois simplifiée je trouve, (-1+i)/(1+i)
     

  8. matthieu174

    Date d'inscription
    février 2009
    Âge
    21
    Messages
    293

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    vérifie dans ton cours, il doit y être je pense.
    sinon ta simplification est juste, mais tu peut simplifier encore plus en multipliant haut et bas par le conjugué du dénominateur, méthode à retenir car elle simplifie dans beaucoup de cas les fractions de complexes
     

  9. PB1993

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Messages
    13

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    Exact je n'y avais pas pensé .. et maintenant je trouve en simplifiant i
     

  10. yaesen

    Date d'inscription
    mars 2008
    Âge
    28
    Messages
    19

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    Regarde ce qu'il advient d'un complexe multiplié par cette valeur. La suite devrait t'apparaître plutôt évidente.

    Bon courage.
     

  11. matthieu174

    Date d'inscription
    février 2009
    Âge
    21
    Messages
    293

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    oui c'est ça! donc et
    tu peux en déduire plein de choses
     

  12. PB1993

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Messages
    13

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    arg(i)= cos(pi/2) +isin(pi/2)
    |i|=1
     

  13. matthieu174

    Date d'inscription
    février 2009
    Âge
    21
    Messages
    293

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    pour le module oui.
    mais pour l'argument non. fait attention : on a bien i=cos pi/2 +isin pi/2 donc arg(i)=pi/2 [pi], l'argument c'est l'angle dans le cosinus et sinus, tu verrais peut être mieux en écrivant on voit tout de suite que l i l =1 et
    bien, que peux tu en déduire ?
     

  14. PB1993

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Messages
    13

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    Que le triangle est isocèle et rectangle en Mn+1
     

  15. matthieu174

    Date d'inscription
    février 2009
    Âge
    21
    Messages
    293

    Re : exercices sur les Nombres complexes [TS]

    euh ouais c'est ça mais tu vas un peu vite, pourquoi rectangle? pourquoi isocèle?
     


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