[B]Une suite U[IND]n[/IND] peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?[/B]

[invite4d474dbc]

Une suite U_n peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?

Si oui comment le démontrer? Si non quel est le contre exemple a donner?
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[invite652ff6ae]

Bah oui la suite constante :

C'est une suite arithmétique de raison 0 et une suite géométrique de raison 1

[invite4d474dbc]

Merci Beaucoup =)

[Flyingsquirrel]

Bah oui la suite constante :

Ce sont d'ailleurs les seules suites à la fois arithmétiques et géométriques.

[A voir en vidéo sur Futura]

[tuan]

Salut,
Je tente une démonstration... à discuter
- définition d'une suite géométrique : U_n+1 = U_n .q (raison q) (1)
- définition d'une suite arithmétique : U_n+1 = U_n +r (raison r) (2)

S'il s'agit de la même suite... (1)-(2) donne
0 = U_n .(q-1) -r
Cette expression étant indépendante de U_n donne
q-1 = 0, càd q=1
et r=0

[lapin savant]

hummm......je terminerais plutôt sur :
0 = U_n .(q-1) -r ssi U_n = r/(q-1)

ce qui revient à considérer, en fixant r et q, plus de suites constantes que ce que tu as annoncé.

edit : non, en fait, si tu fixes U0, cela revient au même. Je pense que ta démo est juste.

[tuan]

hummm......je terminerais plutôt sur :
0 = U_n .(q-1) -r ssi U_n = r/(q-1)

ce qui revient à considérer, en fixant r et q, plus de suites constantes que ce que tu as annoncé.

edit : non, en fait, si tu fixes U0, cela revient au même. Je pense que ta démo est juste.

Salut,
Mes cours de math sont assez loin derrière moi… je n'ai plus assez d'arguments pour discuter (d'où le "… à discuter" dans mon précédent post)

J'attire simplement l'attention sur 2 points:
1. Dans notre problème les inconnues à déterminer sont q et r . Quant à U_n , il prend un rôle analogue à "x" dans les polynômes en x dont on cherche à déterminer les coefficients.
2. (Une analogie) Lorsque qu'un polynôme de ce type (pour simplifier) Ax² +Bx + C est identiquement nul qu'on écrit par abus Ax² +Bx + C = 0 (je précise que ce n'est pas une équation !) on déduit que A=B=C=0 (des équations cette fois)

Si tu trouves que "ma" démonstration est bonne, explique-nous un peu mieux sa conclusion s'il te plaît...

Bon amusement.

[tuan]

...
Si tu trouves que "ma" démonstration est bonne, explique-nous un peu mieux sa conclusion s'il te plaît...
...

Salut,
En relisant ma question, je ne la trouve pas claire... Je voulais dire que la conclusion que j'ai faite à partir de
0 = Un .(q-1) -r (*)
càd "q=1 et r=0" ne me satisfaisait pas par manque de démonstration...

J'en tente (encore) une..
L'expression (*) devant être valable pour 2 termes a priori distincts de la suite, Ui et Uj, j'écris
0 = Ui .(q-1) -r (1)
0 = Uj .(q-1) -r (2)

(1)-(2) donne 0 = (Ui-Uj).(q-1) d'où q=1 et par suite r=0

Seulement... une telle suite donne aussi Ui=Uj !!!
Quelqu'un aurait-il un commentaire ?

[Flyingsquirrel]

Seulement... une telle suite donne aussi Ui=Uj !!!
Quelqu'un aurait-il un commentaire ?

Je pense qu'il vaut mieux donner des valeurs à et . On peut par exemple s'en sortir en prenant et :

Premier terme de la suite :
Deuxième terme de la suite : .

De (1) on déduit . En remplaçant par dans (2) on obtient c'est-à-dire .
Il y a deux cas possibles :

• Soit . Alors et la suite est constante (et peut prendre n'importe quel valeur).
• Soit . Dans ce cas donc , et la suite est également constante.

On peut aussi montrer que la suite est constante en étudiant la limite du quotient quand (si ce produit est nul tous les termes de la suite le sont également et la suite est constante) :

Si la suite est arithmétique de raison et géométrique de raison (avec l'hypothèse ) alors le quotient est constant et vaut 1. Or, si ,

et si ,

Les seuls cas possibles sont donc .

• ne convient pas car la suite de terme général n'est pas monotone alors que celle de terme général l'est.
• Quant à , pour que cette valeur convienne on doit avoir
  
  
  ce qui n'est possible que si .

Réciproquement on vérifie bien que si et la suite obtenue est constante.