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exo forme expo TS

  1. caroline9201

    Date d'inscription
    février 2009
    Âge
    25
    Messages
    9

    Question exo forme expo TS

    Bonjour j'ai un exercice de maths à faire avec lequel j'ai un peu de difficultés.

    Enoncé: on pose w= e2i pi/5

    1) Prouver que 1+w+w2+w3+w4=0

    Ma réponse:
    S=1+w+w2+w3+w4
    Il s'agit de la somme des 5 termes consécutifs d'une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison q=w.
    On applique la formule : 1+q+q2+...+qn=1-qn/1-q
    Ce qui donne: S= 1-w5 / (1-w)
    S= 1-e2ipi / (1-e2i pi/5)
    S= 1- (cos 2pi + i sin 2pi) / (1-e2i pi/5)
    S= 1- (1+i*0) / (1-e2i pi/5)
    S= 1-1 / (1-e2i pi/5)
    S = 0

    2) Soit u=w+w4 et v=w2+w3
    calculer u+v et uv et en déduire que u et v sont les solutions d'une équation du 2nd degré qu'on résoudra.

    Ma réponse:
    u+v = w+w2+w3w4 = 0-1 = -1

    uv = (w+w4)(w2+w3)
    uv = w3+ w4+w6+w7

    ensuite j'ai mis e2i pi/5 à l'exposant indiqué et j'ai pris la mesure principale de l'angle, ce qui donne:

    uv = ei(-4pi/5) + ei(-2pi/5) + ei(2pi/5) + ei(4pi/5)

    uv = cos (-4pi/5) + isin(-4pi/5) + cos (4pi/5) + isin(4pi/5) + cos (-2pi/5)+ i sin (-2pi/5) + cos (2pi/5)+ i sin (2pi/5)

    uv = cos (4pi/5) - isin(4pi/5) + cos (4pi/5) + isin(4pi/5) + cos (2pi/5) - i sin (2pi/5) + cos (2pi/5)+ i sin (2pi/5)

    uv= 2 cos (4pi/5) + 2 cos (2pi/5)

    mais ensuite je ne sais pas quoi faire pour trouver l'équation du 2nd degré dont u et v sont solutions, pouvez vous m'aider s'il vous plait?
    Le but de l'exercice est de calculer cos (2pi/5) donc comment faire??

    Merci d'avance.

    -----

    Dernière modification par caroline9201 ; 08/11/2009 à 13h50.
     


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  2. ritoul

    Date d'inscription
    janvier 2008
    Messages
    87

    Re : exo forme expo TS

    bonjour
    Il est connu que quand on sait que la somme deux nombres
    est S et que leur produit est P ces deux nombres sont
    racines de l'équation :
    X^2 -SX + P = 0
     

  3. Guillaume69

    Date d'inscription
    décembre 2006
    Localisation
    Paris
    Âge
    27
    Messages
    2 845

    Re : exo forme expo TS

    Bonjour,

    La propriété donnée par ritoul vient de deux formules plus générales que tu as vues :
    Somme des racines = -b/a
    Produit des racines = c/a

    prendre a=1 donne l'équation de ritoul.
     


    • Sur le web :




  4. caroline9201

    Date d'inscription
    février 2009
    Âge
    25
    Messages
    9

    Re : exo forme expo TS

    Ah d'accord merci beaucoup mais comment la résoudre puisque j'ai trouvé pour la somme u+v= -1 et pour le produit uv= 2 [cos (4pi/5) + cos (2pi/5)]
    Ai-je fait une erreur, ou peut être que je n'aurais pas du le résultat sous cette forme... pouvez vous me donner une piste s'il vous plait?
     

  5. ritoul

    Date d'inscription
    janvier 2008
    Messages
    87

    Re : exo forme expo TS

    tout se simplifie si l'on remarque que

    2⌠cos(4π/5) + cos(2π/5)] = -1
     


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  6. caroline9201

    Date d'inscription
    février 2009
    Âge
    25
    Messages
    9

    Re : exo forme expo TS

    Et comme le sait on ? (désolée j'ai un peu de mal aujd )
     

  7. ritoul

    Date d'inscription
    janvier 2008
    Messages
    87

    Re : exo forme expo TS

    l'étude du pentagone régulier donne :
    cos (π/5) = (1+√5)/4
     

  8. Guillaume69

    Date d'inscription
    décembre 2006
    Localisation
    Paris
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    27
    Messages
    2 845

    Re : exo forme expo TS

    Ritoul, tu aurais une autre méthode que l'étude d'un pentagone ? Ce n'est pas du tout au programme de terminale.

    D'ailleurs moi non plus, je ne vois pas d'où vient le pentagone
     

  9. caroline9201

    Date d'inscription
    février 2009
    Âge
    25
    Messages
    9

    Re : exo forme expo TS

    En fait j'ai réussi à trouver uv=-1 sans passer pas cos(2pi/5) et cos(4pi/5) c'était en réalité plutot simple mais il fallait y penser!
    Merci pour votre aide en tous cas.
    Bonne soirée
     

  10. Guillaume69

    Date d'inscription
    décembre 2006
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    Paris
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    27
    Messages
    2 845

    Re : exo forme expo TS

    Je pense que tu as fais ça : uv = w3+w4+w5+w6 = w3(1+w2+w3+w4) -w5 = -w5 = -1 .

    Bonne soirée
     


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