exo forme expo TS

[inviteeecd3035]

Bonjour j'ai un exercice de maths à faire avec lequel j'ai un peu de difficultés.

Enoncé: on pose w= e^{2i pi/5}

1) Prouver que 1+w+w²+w³+w⁴=0

Ma réponse:
S=1+w+w²+w³+w⁴
Il s'agit de la somme des 5 termes consécutifs d'une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison q=w.
On applique la formule : 1+q+q²+...+qⁿ=1-qⁿ/1-q
Ce qui donne: S= 1-w⁵ / (1-w)
S= 1-e^2ipi / (1-e^{2i pi/5})
S= 1- (cos 2pi + i sin 2pi) / (1-e^{2i pi/5})
S= 1- (1+i*0) / (1-e^{2i pi/5})
S= 1-1 / (1-e^{2i pi/5})
S = 0

2) Soit u=w+w⁴ et v=w²+w³
calculer u+v et uv et en déduire que u et v sont les solutions d'une équation du 2nd degré qu'on résoudra.

Ma réponse:
u+v = w+w²+w³w⁴ = 0-1 = -1

uv = (w+w⁴)(w²+w³)
uv = w³+ w⁴+w⁶+w⁷

ensuite j'ai mis e^{2i pi/5} à l'exposant indiqué et j'ai pris la mesure principale de l'angle, ce qui donne:

uv = e^i(-4pi/5) + e^i(-2pi/5) + e^i(2pi/5) + e^i(4pi/5)

uv = cos (-4pi/5) + isin(-4pi/5) + cos (4pi/5) + isin(4pi/5) + cos (-2pi/5)+ i sin (-2pi/5) + cos (2pi/5)+ i sin (2pi/5)

uv = cos (4pi/5) - isin(4pi/5) + cos (4pi/5) + isin(4pi/5) + cos (2pi/5) - i sin (2pi/5) + cos (2pi/5)+ i sin (2pi/5)

uv= 2 cos (4pi/5) + 2 cos (2pi/5)

mais ensuite je ne sais pas quoi faire pour trouver l'équation du 2nd degré dont u et v sont solutions, pouvez vous m'aider s'il vous plait?
Le but de l'exercice est de calculer cos (2pi/5) donc comment faire??

Merci d'avance.
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[invitea3edf3aa]

bonjour
Il est connu que quand on sait que la somme deux nombres
est S et que leur produit est P ces deux nombres sont
racines de l'équation :
X^2 -SX + P = 0

[Guillaume69]

Bonjour,

La propriété donnée par ritoul vient de deux formules plus générales que tu as vues :
Somme des racines = -b/a
Produit des racines = c/a

prendre a=1 donne l'équation de ritoul.

[inviteeecd3035]

Ah d'accord merci beaucoup mais comment la résoudre puisque j'ai trouvé pour la somme u+v= -1 et pour le produit uv= 2 [cos (4pi/5) + cos (2pi/5)]
Ai-je fait une erreur, ou peut être que je n'aurais pas du le résultat sous cette forme... pouvez vous me donner une piste s'il vous plait?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3edf3aa]

tout se simplifie si l'on remarque que

2⌠cos(4π/5) + cos(2π/5)] = -1

[inviteeecd3035]

Et comme le sait on ? (désolée j'ai un peu de mal aujd )

[invitea3edf3aa]

l'étude du pentagone régulier donne :
cos (π/5) = (1+√5)/4

[Guillaume69]

Ritoul, tu aurais une autre méthode que l'étude d'un pentagone ? Ce n'est pas du tout au programme de terminale.

D'ailleurs moi non plus, je ne vois pas d'où vient le pentagone

[inviteeecd3035]

En fait j'ai réussi à trouver uv=-1 sans passer pas cos(2pi/5) et cos(4pi/5) c'était en réalité plutot simple mais il fallait y penser!
Merci pour votre aide en tous cas.
Bonne soirée

[Guillaume69]

Je pense que tu as fais ça : uv = w3+w4+w5+w6 = w3(1+w2+w3+w4) -w5 = -w5 = -1 .

Bonne soirée