DM TS : Suites

[invitef90dcb08]

Bonjour à tous,

Deja je voudrais savoir si mon raisonnement au premier exo est bon :

Il faut demontrer que la suite est soit minorée soit majorée.

1) un = n² -5n + 1

La suite est donc définie explicitement par un = f(n) avec f(x) = x² - 5x +1, je dérive donc f'(x) = 2x - 5, tableau de signe et je trouve suite minorée par -5,25 ?!

Je peux dérivée meme si c'est une suite comme elle est définie explicitement ?!


Et sinon je bloque au dernier exo :

Il faut que je démontre que un = (2^n) / n! est décroissante.

J'ai essayer u n+1 - u n ; u n+1 / u n ; et defini explicitement donc f(x)... mais je sais pas du tout, pourriez vous m'aider =)
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[Guillaume69]

Bonjour,

Je peux dérivée meme si c'est une suite comme elle est définie explicitement ?!

Je pense que tu n'as pas compris le raisonnement.
Tu ne dérives pas une suite ! Tu dérives la fonction f définie sur par f(x) = x^2-5x+1, et tu en tires un certain nombre de conclusions.

Ces conclusions sont valables pour tout x de , en particulier pour tout n , puisque est inclu dans

C'est pour cette raison que l'ont peut travailler sur f pour démontrer des résultats sur (Un = f(n)).

Pour la deuxième question :
*Tu ne sais pas pas dériver x!, tu ne sais peut-être pas encore dériver 2^x, définir une fonction f est l'étudier n'est donc certainement pas la bonne solution.
*Typiquement, quand tu as des factorielles, le plus simple est de comparer u(n+1) / u(n) à 1. car les factorielles se simplifient. Par contre, il faut bien justifier que u(n) est strictement positif pour tout n, ce qui est le cas ici (2^n positif et n! positif).


J'ai presque tout écrit

[invitef90dcb08]

Bonjour,


Je pense que tu n'as pas compris le raisonnement.
Tu ne dérives pas une suite ! Tu dérives la fonction f définie sur par f(x) = x^2-5x+1, et tu en tires un certain nombre de conclusions.

Ces conclusions sont valables pour tout x de , en particulier pour tout n , puisque est inclu dans

C'est pour cette raison que l'ont peut travailler sur f pour démontrer des résultats sur (Un = f(n)).

Oui je me suis mal exprimé mais j'avais compris le raisonnement, merci.

Pour la deuxième question :
*Tu ne sais pas pas dériver x!, tu ne sais peut-être pas encore dériver 2^x, définir une fonction f est l'étudier n'est donc certainement pas la bonne solution.
*Typiquement, quand tu as des factorielles, le plus simple est de comparer u(n+1) / u(n) à 1. car les factorielles se simplifient. Par contre, il faut bien justifier que u(n) est strictement positif pour tout n, ce qui est le cas ici (2^n positif et n! positif).


J'ai presque tout écrit

Le truc c'est qu'on a jamais vu les factorielles et je connais aucunes propriétés de calculs...

Donc quand j'avais essayer Un+1 : Un j'avais bien trouver ce que tu me donne mais après je sais pas quoi faire ...

[Guillaume69]

par définition.

On a donc
C'est cette propriété qui permet de simplifier facilement les fractions avec des factorielles.
Exemples :
*
*
Avec ces indications, je pense que tu peux trouver la réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef90dcb08]

Ok merci.

Donc ça fait : 2^n+1 * n! / 2^n * (n+1) n! = 2^n+1 / 2^n (n+1)

Mais ça c'est plus grand que 1 pour n=0 ; égal à 1 quand n=1 et après strictement inférieur à 1.

Donc pour conclure en comparant à 1...

[invitef90dcb08]

Up please !