La fonction exponentielle, elle est jolie, mais elle vien d'où ?

[inviteb7b9bdc0]

coucou
voilà, il ne s'agit pas de questions du genre "c'est quoi la réponse exp(x)=1 ??", mais plutôt des questions de curiosité.

1 / Où, quand, comment, par qui et surtout pourquoi l'exponentielle est-elle connu de nos jours ? Qui a eu l'idée de dire "tien, si j'essayais de tracer une fonction dont f(0)=1 et f'(x)=f(x), pour voir ce que ça donne,qui sait, peut être que c'est marrant..."

2 / Même question pour logarithme

3 / Quel est le lien si mystérieux entre la fonction ln et le module d'un nombre complexe, puisqu'il semble que les calculs que l'on applique à l'un ressemble fortement à ceux de l'autre ?

ps : je mets "mystérieux" parce que je ne suis qu'en terminale ^^

re ps : si jamais un sujet de ce genre existe déjà, pas la peine de gueuler, parce que j'ai cherché et j'ai pas trouvé

voilà, merci d'éclairer ma lanterne
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[invite64e915d8]

Il me semble qu'en fait la fonction exponentielle est décrite comme la réciproque du logarithme népérien donc ta question 1) devrait plutôt se porter sur ln(x) qui a été inventé par Néper. Pourquoi ou comment a-t-il eu l'idée d'une telle fonction je n'en sais rien

Je ne comprend pas bien ta 3ème question, on n'a pas besoin de la fonction ln pour exprimer le module d'un complexe
Et les opérations sur l'exponentielle sont
alors que pour le logarithme népérien on a :

[invite803a8ebc]

Je crois qu'il voulait parler des arguments des complexes.
C'est vrai que ça se ressemble pas mal.

[sebsheep]

A la base, le logarithme a été inventé pour faire des multiplications rapidement.

En effet, tu dois savoir que ln(ab) = ln(a ) + ln( b). Pour faire la multiplication de 2 très grands nombres, on se servait de tables à 2 colonnes : celle de gauche pour les nombres, celle de droite pour les log. On cherche a et b dans la colonne de gauche et on additionne leurs log (qui se situe à droite).

Ensuite, on prend le résultat de la somme et on le recherche dans la colonne de droite. Il suffit de regarder dans la case à gauche pour avoir le résultat de la multiplication. Ce système à été automatisé par les règles à calculs.

Et c'est là que Neper intervient : c'est lun des premiers à avoir publié des tables de logarithmes (qu'il a calculé à la main !!).

Donc là, tu vois apparaître "naturellement" l'exponentielle : c'est la fonction réciproque du logarithme (la fonction qui permet de passer de la colonne de droite à la colonne de gauche).

Une autre façon de voire l'exponentielle, c'est de la définir comme la solution à l'équation différentielle f ' =f (et f(0)=1) ), comme tu l'as souligné. La question est d'où vient cette équation ?

C'est équation qu'on rencontre souvent en physique. Si tu es en terminale S, tu as plein d'exemples dans ton cours de physique : chute d'un corps avec des frotements, décroissance radioactive, décharge d'un condensateur ...

Quant à l'exponentielle et les complexes, à ton niveau, ce n'est rien de plus qu'une notation : le fait de multiplier 2 nombres complexes produit un nombre complexe dont l'argument est la somme des 2 autres : ca fait fortement penser à l'exponentielle. Mais tu te doutes bien que c'est plus qu'une notation.
En fait l'exponentielle est définie par :
(où n! = n (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) ....2x1 ). Eh bien avec cette définition, rien n'empêche ton x d'être complexe. (Evidement, en étudiant tout ça de façon siouks, on se rend compte que exp définie comme ça vérifie bien toutes les propriétés sus-citées).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec8b46424]

Moi j'ai plutot appris qu'un mathématicien (je ne sais pas lequel) a essayé de trouver une fonction qui serait égal à sa dérivée c'est à dire que f=f'
Et il n'y avait qu'une fonction qui obéissait à cette règle:la fonction exponentielle

[ansset]

non, l'explication très claire de seb est la bonne.

les logs ont été "decouverts" bien plus tôt pour des commodités de calcul des multiplications.

quand au lien avec les complexes, il suffit de dériver 2 fois e(ix) pour voir une drole de ressemblance avec un sin(x).
c'est juste une commodité mathématique.

[inviteb7b9bdc0]

je voulais en effet parler de l'argument, pas du module, désolé

et je vous remerci pour vos réponses, je supportais difficilement d'utiliser un truc machin sans savoir d'où il vient

voila, en espérant que ce topic profitera à d'autres !

[invite39ccd378]

pas mal l introduction .

[-Dunk-]

Merci pour ton explication SEB je suis en terminale (Baccalaureat chez nous) et nous utilisons la fonction exp en physique avant de l'etudier en math Maintenant c'est plus clair

[sebsheep]

Ah bon, j'avais écrit ce message un jour ?
Ravi que mon explication datant de 5 ans soit appréciée !

Comble du hasard, je suis aujourd'hui prof et mercredi, je commence les logs avec mes Terminales ES... De quoi me rafraîchir la mémoire

[-Dunk-]

Waouh Felicitations! Merci pour tout et prends soin de tes eleves seb
P.S: J'aurais bien aimé faire parti de ta classe

[jtruc34]

Bonjour,

je ne sais pas si seb l'a cité explicitement, il a donné des exemples, mais ce que veut dire y = y' c'est simplement que l'accroissement est proportionnel à la quantité. Par exemple, plus une population de bactérie est grande, plus elle va se multiplier vite. Sa croissance (y') est donc proportionnelle à sa taille (y).

Si tu veux savoir pourquoi la solution de cette équation donne une fonction exponentielle (donc une base puissance la variable), je t'invite à regarder ça : https://proofwiki.org/wiki/Equivalen...on#3_implies_4 à la section 3 implies 4. Si tu as vu les séries de taylor, tu verras que la solution de y = y' et y(0) = 1 implique directement cette série.

Au revoir

[jtruc34]

Ouïe, en fait je viens de voir que ce sujet était très vieux...

Pardon