Terminale probabilité

[invitea7ab5b3f]

1° Soit alpha un nombre réel non nul différent de 1. On considère les suites (an) et (bn) définies par :

a0=0; b0=0; et pour tout entier naturel n, an+1=an+((1-alpha)/2)*bn; bn+1=alpha*bn

a) Exprimer bn en fonction de n et alpha pour tout entier naturel n.

==> Un+1=Un*q donc bn+1=bn*alpha
Un=U0*q^n donc bn=alpha^n

b) En déduire la valeur de an+1-an et montrer que an=1/2*(1-alpha^n) pour tout entier naturel n.

==> an+1= an + ((1-alpha)/2)*bn
an+1-an= ((1-alpha)/2)*alpha^n
je suis bloquée, que faire de plus ?
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[ansset]

bonjour, tu fais juste un petit raisonnement par recurrence
l'équation est vrai pour a0
il n'est pas difficile de montrer que si elle est vraie pour n, alors, elle est vraie pour n+1..

ps : au depart b0 =1 et pas 0 , c'est le genre d'erreur de recopie d'énoncé qui fatigue, car celà pousse à retrouver un enoncé correct, ce qui est parfois plus compliqué que d'apporter des solutions

[inviteae7fd42d]

Bonjour,

je suppose que on a
et non , non?

Donc comme tu l'as dit, on a bien
Pour montrer que
tu peux proceder par recurrence, je pense que c'est le moyen le plus simple:
Initialisation:
Heredite:

[invitea7ab5b3f]

j'en reste où j'en étais pour an+1-an ? puis pour la récurrence je ne comprend comment avoir an=1/2*(1-alpha^n) en partant de an+1 ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

j'en reste où j'en étais pour an+1-an ? puis pour la récurrence je ne comprend comment avoir an=1/2*(1-alpha^n) en partant de an+1 ...

visiblement, tu ne sais pas ce qu'est un raisonnement par recurrence.

le principe est de dire :
-c'est vrai au depart a0
- et ensuite de montrer que si c'est vrai pour n, alors c'est vrai pour n+1.

donc on part du principe que an=bonne formule et on cherche a(n+1)

niconico t'a presque fait tout le petit calcul à faire.

[invitea7ab5b3f]

je développe le reste ?

[ansset]

ben viiiii !!!!!!
allez , un petit effort.

[invitea7ab5b3f]

Alors voila j'ai developpé mais je ne suis pas sur car je suis bloquée ...

J'ai pris les premier calculs: et lorsque je developpe j'arrive a ça :

1- (alpha^n)/2 - [(alpha²)^n]/2

Ensuite je ne voit pas comment arriver a la fin ...
Pouvez vous m'aider??

[ansset]

Alors voila j'ai developpé mais je ne suis pas sur car je suis bloquée ...

J'ai pris les premier calculs: et lorsque je developpe j'arrive a ça :

1- (alpha^n)/2 - [(alpha²)^n]/2

Ensuite je ne voit pas comment arriver a la fin ...
Pouvez vous m'aider??

pardon mais tu fais de la bouillie.
(1/2)(1-alpha)alpha^n ça fait quoi ?

d'ou sort-il ton alpha² ?????

alpha*alpha^n = alpha^(n+1)

en plus tu as du oublier le 1- qcq part dans la bataille.

[invitea7ab5b3f]

petite question: alpha^n - alpha^(n+1) = alpha^1 ???

[Rhodes77]

Ah surement pas non !
alpha^n - alpha^(n+1) = (alpha^n)*(1-alpha) en ayant factorisé alpha^n dans chaque terme

[invitea7ab5b3f]

an+1 = an + (1-alpha)/2 * alpha^n
=1/2(1-alpha^n) + (1-alpha)/2 * alpha^n
=1/2 - alpha^n/2 + 1/2 - alpha/2 * alpha^n
= 1 - alpha^n/2 - apha/2 * alpha^n
=1-alpha^n/2 - [alpha^(n+1)]/2

Je n'arrive Pas au bon resultat car deja il devrait y avoir la valeur 1/2 et non 1 .

Pouvez vous me corriger si il y a erreur? Merci.

[Rhodes77]

Pourquoi injectes-tu la réponse attendue dans la relation de récurrence ?

La relation de récurrence est bonne, commence par calculer a1 et a2 et vois si ça colle avec la relation attendue.
Ensuite, raisonne par récurrence.
La loi est vérifiée au rang 0. Imaginons qu'elle soit vérifiée à un rang k, qu'en est-il au rang k+1 ? Si elle y est également vérifiée, il y a hérédité et puisque c'est vérifiée au rang 0, c'est vrai à tout rang.

[ansset]

=1/2 - alpha^n/2 + (1/2 - alpha/2) * alpha^n.

si tu perds les parenthèses en route, ça ne peut pas marcher.
d'ou :
= 1/2 -(1/2)alpha^n +(1/2)alpha^n -(1/2)alpha^(n+1)

= 1/2(1-alpha^(n+1))

[invitea7ab5b3f]

Oui !! j'avais Remarqué par La Suite ^^ Suis-je Bete !!

2. Etant donné un gène possédant un couple d'allèles A et a, on dit qu'une plante est homozygote lorsqu'elle contient les deux
mêmes allèles sur une paire de chromosomes homologues : elle est alors de génotype AA ou aa. Une plante est hétérozygote
lorsqu'elle est de génotype Aa. Certaines plantes, par exemple le lupin, se reproduisent par autogamie (ou autofécondation) : tout
se passe pour la descendance comme si on fécondait deux plantes de même génotype, chaque chromosome d'une paire étant
sélectionné au hasard.
2.a. Calculer les probabilités pour qu'une plante de génotype AA, ou Aa ou aa donne par autogamie une plante de génotype AA,
Aa ou aa. On présentera les résultats sous forme de tableau.

J'ai trouvé ça:
P(AA/AA)= 1
P(AA/Aa)=0
P(AA/aa)=0

P(Aa/AA)= 1/4
P(Aa/aa)=1/4
P(Aa/Aa)=1/2

P(aa/AA)=0
P(aa/Aa)=0
P(aa/aa)=1


2.b. Partant d'une plante hétérozygote (génération 0), on constitue par autogamie des générations successives. On note :
- AA n l'événement "la plante de la n-ième génération est de génotype AA" ;
- Aa n l'événement "la plante de la n-ième génération est de génotype Aa" ;
- aa n l'événement "la plante de la n-ième génération est de génotype aa".
On appelle x n la probabilité de AA n , y n la probabilité de Aa n , et z n la probabilité de aa n ; en particulier x 0 = 0 ; y 0 = 1 ;
z 0 = 0. Calculer x 1 , y1 et z 1 .

Ici Je suis Bloquée, Pouvez vous m'aider??

Je Vous mets la suite de l'exo:

Expliciter les probabilités conditionnelles :
de AA n+1 sachant que AA n ; de AA n+1 sachant que Aa n ; de Aa n+1 sachant que Aa n .
En déduire que :
xn+1 = xn + 1/4 yn et yn+1= 1/2yn pour tout entier naturel n.
Utiliser les résultats de la question 1. pour donner les valeurs de
x n et de y n puis de z n en fonction de n.

2.c. On garde les hypothèses et notations de b.
Calculer la probabilité pn pour qu'une plante de la nième
génération ne soit pas homozygote. A partir de
quelle génération (caractérisée par son numéro
d'ordre n) a-t-on pn<ou = 0,01 ?

[ansset]

re salut,
tu es plus fachée avec les maths qu'avec la biologie.
tes premiers calculs sont OK.

ensuite les x1, y1, z1, sont déjà dans les reponses que tu as
donné.

après, on te demande de reformuler la même chose mais à chaque génération, ce qui revient au même.
proba de AA venant de AA = 1
proba de AA venant de Aa =1/4
proba de Aa venant de Aa =1/2

la fin est du même ordre ou presque.
d'ou peu venir AA à la (n+1)ème génération.
sa maman était forcement AA ou Aa
donc 2 possibilités qui additionnent les probas.

donc ?

[invitea7ab5b3f]

donc
x1= 1/4
y1=1/4
et z1=1/2 ???

[ansset]

donc
x1= 1/4
y1=1/4
et z1=1/2 ???

mais pas du tout !
je fatigue là

si tu veux tout faire en 3 secondes, je laisse tomber.
pour après dire " pardon"

[ansset]

y1=1/2

tu as confondu Aa et aa !

[invitea7ab5b3f]

je suis perdue... je ne comprends pas. Comment trouver x1 y1 et z1 a l'aide de calculs??

[invitea7ab5b3f]

je peux juste dire d'apres le tableau:
x1= 1/4
y1=1/4
et z1=1/2 ???

Et autre question pourquoi y0 est egal a 1 dans l'enoncé???

[ansset]

2.b. Partant d'une plante hétérozygote (génération 0), on constitue par autogamie des générations successives. On note :
- AA n l'événement "la plante de la n-ième génération est de génotype AA" ;
- Aa n l'événement "la plante de la n-ième génération est de génotype Aa" ;
- aa n l'événement "la plante de la n-ième génération est de génotype aa".
On appelle x n la probabilité de AA n , y n la probabilité de Aa n , et z n la probabilité de aa n ; en particulier x 0 = 0 ; y 0 = 1 ;
z 0 = 0. Calculer x 1 , y1 et z 1 .

pourquoi ne lis tu pas ton enoncé calmement.
y c'est Aa pas aa

si x0=0 c'est que simplement ni AA ni aa ne sont par définition hétérozygote

le papa ou la maman de depart est Aa

[invitea7ab5b3f]

oui ça j'ai compris!! Merci beaucoup!

donc d'apres le tableau:
x1=1/4
y1=1/4
et z1=1/2

c'est ça?? (j'espere!!)

[invitea7ab5b3f]

Ah non j'ai donc x1=1/4 y1=1/2 et z1=1/4 !!!