Démontrer par récurrence... [TS]

[invite92622bcb]

Bonsoir,

On considère la suite (Un) définie par U(0) = 0 et, pour tout entier naturel n, par U(n+1) = g(Un).
1) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :
On a : g (x) = (1 + x) / (1 + exp(x) ) et on a


Voici ce que j'ai commencé :

Soit P(n) : ""

Initialisation : Démontrons que P(0) est vrai.



U(0) = 0

U(0+1) = g(U(0))
U(0+1) = (1+U(0)) / (1+ exp(U(0))
U(0+1) = (1+0) / (1+ exp(0))
U(0+1) = 1/2



Donc P(0) est vrai.

Hérédité : Supposons que pour tout , il existe un n tel que P(n) est vraie. Démontrons que P(n+1) est vraie.

Et c'est là que j'ai un problème >.<. Si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aider s'il vous plaît . Merci d'avance.
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[invite2bc7eda7]

Bonsoir,
déjà, tu as une erreur dans la rédaction de ton hérédité,

il faut écrire, on suppose qu'il existe un certain n (appartenant à N) >ou égal à 0 tel que la propriété est vraie, montrons la pour (n+1).

tu veux donc montrer que 0<u(n+1)<(n+2)<alpha (ce sont des "<ou égal")

et après tu as directement u(n+2)>u(n+1) en regardant vite fait les variations de g... reste à montrer que u(n+2)<alpha... mais là je ne vois pas trop trop...

Bonne soirée,

Mystérieux1

[invite2bc7eda7]

j'y ai reflechis un peu plus mais je ne sais pas si c'est exact...

tu as u(n+2)=(1+u(n+1))/(1+e^u(n+1))

tu sais que u(n+1)<alpha donc tu remplaces et tu obtient l'inégalité:

u(n+2)<(1+A)/(1+e^A) [A=alpha]

reste à montrer que (1+A)/(1+e^A)<A...

ce qui est faisable... tu montres que A>ln(1/A) (trivial)
tu composes par exp et tu as
e^A>1/A
que tu transformes en Ae^A>1 et tu rajoutes A de chaque coté, tu factorises et tu divises pour avoir le résultat,

1+A<A+Ae^A
(1+A)/(1+e^A)<A

reste a conclure...

bonne soirée

[invite92622bcb]

Salut,

Merci beaucoup pour ta réponse cependant, je ne saisie pas ce que tu veux me montrer T.T. Sinon, je n'ai pas encore fait de logarithme :s.

Voici ce que j'ai fais au brouillon pour l'hérédité :


Comme :





Alors :





et ainsi de suite jusqu'a retrouver , ce qui donne :



mais ça ne m'avance pas du tout :s

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite92622bcb]

En faite, c'est bon !!! . Je pense avoir compris ce que tu as posté. Merci ^^