Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admis
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Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admis



  1. #1
    invite2b14cd41

    Smile Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admis


    ------

    Salut, depuis la 5ème les profs nous ont appris quelques "théorèmes de base" en géométrie plane euclidienne, comme par exemple : "Les 3 médianes se coupent en un même point" ou encore "les diagonales d'un parallélogrammes se coupent en leur milieu" , "2 angles alternes-internes sont égaux" , etc
    Tous ces théorèmes ont été admis , comme si c'était des postulats, bien qu'il en soit tout autrement ...
    Quels sont les fondements de la géométrie plane apprise au collège ?
    Sont-ils les postulats d'Euclide tel qu'il les décrit dans ses éléments, ou bien y a-t-il d'autres postulats modernes (je pense notemment aux axiomes de Hilbert)?
    Et comment peut-on , à partir de ces axiomes de base , prouver certaines "propriétés magiques" , comme le fait que les 3 médianes d'un triangle se coupent en leur milieu ?

    -----

  2. #2
    hhh86

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    les trois médianes d'un triangle ne se coupent pas en leur milieu attention
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  3. #3
    invite2b14cd41

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Désolé, je voulais dire "les 3 médianes d'un triangle se coupent en un même point" (je l'ai dis plus haut)

  4. #4
    danyvio

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    L'intersection des médianes en un seul point est un théorème bien démontré, et tout ce qu'on apprend ensuite en géométrie "classique" découle des seuls postulats d'Euclide.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite2b14cd41

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    D'accord, connaissez-vous cette démonstration ?

  7. #6
    hhh86

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Bah tu as plusieurs possibilité je crois soit en utilisant la géométrie analytique, soit avec les vecteurs (cette démonstration est vue en seconde)
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  8. #7
    invite2b14cd41

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Avec les vecteurs ca donne quoi ? (pour rester le plus possible dans le domaine de la géométrie "pure")

  9. #8
    Rhodes77

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Ca doit pouvoir se faire avec la notion de barycentre partiel. Introduisez les isobarycentres de chaque couple de sommet (càd le milieu de chaque segment), introduisez l' isobarycentre du triangle et montrez tour à tour que le barycentre du triangle appartient à chaque droite reliant un sommet et le milieu du côté opposé.
    Etre professionnel ne donne pas le droit d'être pédant

  10. #9
    physikaddict

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Citation Envoyé par Rhodes77 Voir le message
    Ca doit pouvoir se faire avec la notion de barycentre partiel. Introduisez les isobarycentres de chaque couple de sommet (càd le milieu de chaque segment), introduisez l' isobarycentre du triangle et montrez tour à tour que le barycentre du triangle appartient à chaque droite reliant un sommet et le milieu du côté opposé.
    Bonjour,

    Oui. Il s'agit d'un exercice plus ou moins récurrent en 1ère.

    Cordialement,
    Il est plus facile de désintégrer un atome qu’un préjugé. (A.E)
    La matière noire, c'est ce qu'on met quand la matière grise vient à manquer. (Une sage tortue de Savoie)

  11. #10
    danyvio

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Ce lien offre deux démonstrations :

    http://www.maths.ac-aix-marseille.fr...e.html#gravite
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  12. #11
    invite2b14cd41

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Merci beaucoup , ce dernier lien est vraiment utile.
    Mais qu'en est-il de démonstrations plus basiques , comme "deux angles alternes-internes sont égaux , ou la somme des angles dans un triangle est de 2pi rad ?

  13. #12
    danyvio

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Citation Envoyé par pol92joueur Voir le message
    Merci beaucoup , ce dernier lien est vraiment utile.
    Mais qu'en est-il de démonstrations plus basiques , comme "deux angles alternes-internes sont égaux , ou la somme des angles dans un triangle est de 2pi rad ?
    Je ne voudrais pas paraître prétentieux, mais c'est ce qu'on démontrait en 5ème ou 4ème.....
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  14. #13
    Médiat

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Citation Envoyé par pol92joueur Voir le message
    Sont-ils les postulats d'Euclide tel qu'il les décrit dans ses éléments, ou bien y a-t-il d'autres postulats modernes (je pense notemment aux axiomes de Hilbert)?
    Les axiomes d'Euclide sont insuffisants pour "tout" démontrer, les axiomes manquants étant les plus "évidents".

    Le livre de Hilbert sur les fondements de la géométrie est accessible en ligne gratuitement :
    Version en anglais : http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf
    Version en français : http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AS..._17__103_0.pdf
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #14
    invite2b14cd41

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    Je ne voudrais pas paraître prétentieux, mais c'est ce qu'on démontrait en 5ème ou 4ème.....
    Quoi ? Dans mon école (au Liban) nous n'avons jamais rien démontrer de pareil , nous les avons juste "admis" en tant que théorème !
    Connaissez-vous la preuve pour la somme des angles dans un triangle ?

  16. #15
    Lelouch

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Citation Envoyé par pol92joueur Voir le message
    Quoi ? Dans mon école (au Liban) nous n'avons jamais rien démontrer de pareil , nous les avons juste "admis" en tant que théorème !
    Je confirme
    Connaissez-vous la preuve pour la somme des angles dans un triangle ?
    A partir d'un sommet trace la parallèle au coté opposé a ce sommet.
    Puis avec les angles alternes-internes tu déduis la somme.

  17. #16
    hhh86

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Citation Envoyé par pol92joueur Voir le message
    Merci beaucoup , ce dernier lien est vraiment utile.
    Mais qu'en est-il de démonstrations plus basiques , comme "deux angles alternes-internes sont égaux , ou la somme des angles dans un triangle est de 2pi rad ?
    c'est encore faux, la somme des angles d'un triangle est égale à pi. ça se démontre aisément avec les angles orientés.
    Soit (O,i,j) un repère orthonormal direct du plan. Soit ABC un triangle (sens direct)

    On a Â=(AB,AC)
    ^B=(BC,BA)
    ^C=(CA,CB)

    (AB,AC)+(BC,BA)+(CA,CB)=(AB,AC )+(BC,AB)+(AB,BA)+(CA,AC)+(AC, BC)+(BC,CB)=(AB,AC)+(BC,AB)+(A C,BC)+3pi=3pi=pi (mod 2pi)

    Or €]0;pi[, ^B€]0;pi[ et ^C€]0;pi[
    donc Â+^B+^C€]0;3pi[
    d'où Â+^B+^C=pi
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  18. #17
    invite2b14cd41

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    c'est encore faux, la somme des angles d'un triangle est égale à pi. ça se démontre aisément avec les angles orientés.
    Soit (O,i,j) un repère orthonormal direct du plan. Soit ABC un triangle (sens direct)

    On a Â=(AB,AC)
    ^B=(BC,BA)
    ^C=(CA,CB)

    (AB,AC)+(BC,BA)+(CA,CB)=(AB,AC )+(BC,AB)+(AB,BA)+(CA,AC)+(AC, BC)+(BC,CB)=(AB,AC)+(BC,AB)+(A C,BC)+3pi=3pi=pi (mod 2pi)

    Or €]0;pi[, ^B€]0;pi[ et ^C€]0;pi[
    donc Â+^B+^C€]0;3pi[
    d'où Â+^B+^C=pi
    Je te remercie pour cette belle (et simple) démonstration (désolé de m'être encore trompé, comme à mon hapitude )
    Cependant, la propriété "associative" des angles orientés (cad : (AB,CD)+(CD,EF)=(AB,EF)) ne découle-t-elle pas du fait que deux angles correspondants(ou alternes-internes;ce qui revient au même) sont égaux? (étant donné que A,,B,C,D,E,F peuvent être "n'importe ou dans le plan") ...
    Comment démontrer ce théorème qui a l'air très "naturel" ??

  19. #18
    Lelouch

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Je suis aussi interessé par la démonstration de la relation de Chasles pour les angles orientées.
    J'aimerais bien voir comment on peut demontrer quelque chose tellement intuitif.
    Et puisqu'on parle de la relation de Chasles... Est ce une définition ?

  20. #19
    hhh86

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Il faut se ramener à la définition des angles orientés et donc au cercle trigonométrique mais le problème qui vient est de démontrer la relation de chasles pour les intégrales
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  21. #20
    hhh86

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    D'ailleur, je suis bête, la relation de chasles pour les intégrales est très simple à démontrer à partir de la définition.

    En ce qui concerne le cercle trigonométrique c'est la même chose. Il suffit de se ramener à la définition de la longueurde l'arc
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  22. #21
    Lelouch

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Est ce que quelqu'un peut rédiger tout cela ? ou bien renvoyer vers un site un document ou l'on trouve la démonstration ?

  23. #22
    hhh86

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    je n'ai pas spécialement le temps de le faire et je ne connais aucun site la spécifiant mais peut-être peut-on avoir une autre approche que la mienne
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  24. #23
    invite2b14cd41

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Citation Envoyé par Lelouch Voir le message
    Est ce que quelqu'un peut rédiger tout cela ? ou bien renvoyer vers un site un document ou l'on trouve la démonstration ?
    En effet, ce serait pas mal ...
    Mais qu'en est-il de la démonstration des angles alternes-internes qui sont égaux ? Et la "ligne" (c.a.d l'angle plat) a bien comme mesure pi rad "par définition"(postulats) , n'est-ce pas ?

  25. #24
    hhh86

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    c'est la définition de pi
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  26. #25
    Lelouch

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Citation Envoyé par pol92joueur Voir le message
    En effet, ce serait pas mal ...
    Mais qu'en est-il de la démonstration des angles alternes-internes qui sont égaux ? Et la "ligne" (c.a.d l'angle plat) a bien comme mesure pi rad "par définition"(postulats) , n'est-ce pas ?
    Les angles alternes-internes se démontrent avec les triangles superposables.

    Mais je crois que historiquement cela découle du 5eme postulat d'Euclide.

  27. #26
    invite2b14cd41

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Citation Envoyé par Lelouch Voir le message
    Les angles alternes-internes se démontrent avec les triangles superposables.

    Mais je crois que historiquement cela découle du 5eme postulat d'Euclide.
    Je pense que les propriétés des triangles semblables ont été découvertes après celle des angles alternes-internes.
    En effet la propriété des angles alternes-internes semble plus "basique"

  28. #27
    Lelouch

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    c'est la définition de pi
    Je ne pense pas. Un radian c'est la mesure le l'angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur est égale au rayon.

    Citation Envoyé par pol92joueur Voir le message
    Je pense que les propriétés des triangles semblables ont été découvertes après celle des angles alternes-internes.
    En effet la propriété des angles alternes-internes semble plus "basique"
    J'ai parler de triangles superposables pas de triangles semblables.

  29. #28
    hhh86

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Et qu'est-ce que la mesure d'un angle ? Revoies tes cours de 1ère S. Cela un rapport avec la longueur d'un arc de cercle. Or la longueur de l'arc de cercle, on peut l'exprimer avec une intégrale
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  30. #29
    Guillaume_63

    Re : Définition "exhaustive" de la géométrie euclidienne et démonstration de quelques théorèmes admi

    Bonjour,

    Cette année j'ai essayé de trouver les démonstrations de ce genre de propriétés basiques en géométrie euclidienne.

    J'en ai trouvé avec une certaine approche dans le livre "Les maths au collège : démontrer pour comprendre".

    Dans ce livre on admet comme axiomes les trois théorèmes concernant l'isométrie des triangles et tout est démontré à partir de cela (propriétés des angles alternes-internes et même les triangles semblables )

    Très cordialement,

    Guillaume

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