suites et nombres complexes

[snemed]

Bonjour voila j'ai un exercices a faire et je ne vois pas du tout comment faire pour certaines questions.
l'énoncer est le suivant :

on considère les nombres complexes Zn définis, pour tout entiers naturel n, par:
Z0=1 et Zn=((3/4)+I(racine(3)/4))Zn

et on note An le point d'affixe Zn.
1°a)Calculer sous forme algébrique les nombres Z1 à Z6
2°) pour tout entier naturel n, on pose dn=!Z(n+1)-Zn!
a)vérifié que pour n>1:
Z(n+1)-Zn=((3/4)+I(racine(3)/4))(Zn-Z(n-1))
b) en déduire une relation entre dn et d(n-1)
c) donner une interprétation géométrique de chacun des nombres dn
d) On pose

Ln= [K=0(somme)K=n] AkA(k+1)

la longueurs de la ligne polygonale de sommets successifs A0, A1,..A(n+1)
déterminer Ln en fonction de n et la limite de Ln quand n tend vers +oo
3°pour tout entiers naturel n, pose :
an=arg(Zn) (2pi)
a) établir une relation entre an et a(n-1) pour n>1
b)en deduire an en fonction de n
c) pour quelles valeurs de n , les points 0.A0et An sont-ils alignés?

mes réponses son:
1)a)j'ai calculer Z1a Z6 aucune difficulté
2)a) j'ai trouver la relation
b)dn=!((3/4)+I(racine(3)/4))(d(n-1))
j'en déduis que dn=!d0x((3/4)+I(racine(3)/4))^n!
c) je ne voyer pas vraiment quelle réponse donner j'ai donc mit les points forme un courbe de forme expo(croissante)
d) pour cette question je en vois pas du tout comment procéder j'aio essayer de simplifier Ln mais je ne vois pas du tout
3°a) (pi)/6 +a(n-1)=an (pi)/6 vient du calcul de l'argument
b)an=n(pi)/6
c) 0 et A0 sont sur l'axe des réels donc An doit être un réels afin qu'il soit aligné


voila si quelqu'un pouvait confirmé mes réponse et m'indiqué une direction pour la 2)d)

merci d'avance
-----

[snemed]

personne ne peut m'aidé?ou même confirmé mes réponses ?

[Duke Alchemist]

Bonjour.

2.b. ATTENTION ! d_n = |z_n+1-z_n| donc il ne doit pas y avoir de i dans l'expression entre d_n et d_n-1.
Pourquoi as-tu indiqué la relation entre d_n et d₀. Ce n'est pas spécifié dans l'énoncé (à moins que tu ne l'aies oublié )

2.c. Que représente géométriquement (dans un repère) la norme d'un complexe (de manière générale) ?

Je reviens ultérieurement pour la suite

Duke.

[snemed]

merci a toi de m'avoir répondu
alors pour la 2)b) j'ai effectivement oublié de noté qu'il fallait exprimer dn en fonction de d0 et n
pour la première partie de la 2)b) a ton le droit de supprimer les i parce qu'il sont en valeurs absolue? ou peut on faire autrement ?

pour la 2)c) la norme d'un complexe c-a-d sont module est un cercle non? puisque c'est l'argument qui détermine l'angle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

merci a toi de m'avoir répondu
alors pour la 2)b) j'ai effectivement oublié de noté qu'il fallait exprimer dn en fonction de d0 et n
pour la première partie de la 2)b) a ton le droit de supprimer les i parce qu'il sont en valeurs absolue? ou peut on faire autrement ?
pour la 2)c) la norme d'un complexe c-a-d sont module est un cercle non? puisque c'est l'argument qui détermine l'angle.

non, tu ne peux pas supprimer les i avant le calcul.

mais il faut utiliser ton equation Z(n+1)-Z(n)= ...

sachant la règle pour la norme d'une multiplication.
si z et z' deux complexes alors :
Izz'I = IzI*Iz'I

[snemed]

ahh oui en faite je confondais ! ! n'était pas valeurs absolut mais module du coup je trouve !Z(n+1)-Zn!=(racine)3/2!(Zn-Z(n-1))!

et ainsi je trouve Dn=(racine)3/2D(n-1)
ainsi Dn=Do((racine)3/2)^n
Dn=1/2x((racine)3/2)^n
est-ce bon?

[ansset]

ahh oui en faite je confondais ! ! n'était pas valeurs absolut mais module du coup je trouve !Z(n+1)-Zn!=(racine)3/2!(Zn-Z(n-1))!

et ainsi je trouve Dn=(racine)3/2D(n-1)
ainsi Dn=Do((racine)3/2)^n
Dn=1/2x((racine)3/2)^n
est-ce bon?

pour moi , c'est OK, y compris le calcul de do.

[snemed]

par contre pour l'interprétation géométrique de dn je ne vois vraiment pas j'ai essayé de la visualisé avec ma calculatrice mais je ne vois pas du tout ce que je peut "interpréter"a part que ca converge vers o

et pour la 2)d)si tu pouvais m'aider une dernière fois je en vois vraiment pas j'ai essayer de simplifié de plein de façon mais a chaque fois ca ne donne rien la factorisation par (3/4)+I(racine(3)/4) est elle intéressante ?

[Duke Alchemist]

Re-

par contre pour l'interprétation géométrique de dn je ne vois vraiment pas j'ai essayé de la visualisé avec ma calculatrice mais je ne vois pas du tout ce que je peut "interpréter"a part que ca converge vers o

Tu as quoi comme calculatrice ? N'oublie pas que ce sont des complexes
N'y verrais-tu pas un lien avec une longueur (ou une distance). Normalement, c'est ce à quoi fait référence la norme.
Au fait, c'est ce qu'on retrouve dans la question 2;d

et pour la 2)d)si tu pouvais m'aider une dernière fois je en vois vraiment pas j'ai essayer de simplifié de plein de façon mais a chaque fois ca ne donne rien la factorisation par (3/4)+I(racine(3)/4) est elle intéressante ?

L_n ne serait-elle pas la somme des d_n tout simplement ? et tu as une suite géométrique... non ?

Duke.

[ansset]

re salut ,

je ne sais pas si tu as déjà placé les premiers Zn sur (i,j).
pour y voir un peu mieux.

tu sais certainement que quand on multiplie un complexe par un autre comme là de passer de Z(n ) à Z(n+1) :
il y a à la fois une incidence sur le module
et ....sur l'angle .
c'est cela qu'on te demande decrire.

[snemed]

L_n ne serait-elle pas la somme des d_n tout simplement ? et tu as une suite géométrique... non ?

Duke.

et bien je ne vois pas du tout pourquoi Ln serait la somme des Dn puisque c'est la somme de AnA(n+1) soit la somme de ZnZ(n+1) et la je ne vois pas comment retrouver le module de Zn+1-Zn

et pour l'interprétation géométrique je ne vois toujours pas parce-que je crois que je ne vois pas le lien entre Zn et Dn !Zn+1-Zn!=une longeurs (sans i) donc Dn serait toujours sur l'axe des réels?

et je ne sais pas si ca peut servir mais on peut trouver l'epression de z_n=(3/4+i(racine)3/4)^n
mais dans l'expression de ln aprés factorisation par (3/4+i(racine)3/4) je me retrouve avec des (Z_n-1)² et des (Z_n)²

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

et bien je ne vois pas du tout pourquoi Ln serait la somme des Dn puisque c'est la somme de AnA(n+1) soit la somme de ZnZ(n+1) et la je ne vois pas comment retrouver le module de Zn+1-Zn

Chaque point A_n est défini par son affixe Z_n. A_nA_n+1 représente un segment dont la longueur est d_n.

et pour l'interprétation géométrique je ne vois toujours pas parce-que je crois que je ne vois pas le lien entre Zn et Dn !Zn+1-Zn!=une longeurs (sans i) donc Dn serait toujours sur l'axe des réels?

Une norme n'a qu'une dimension, rien de bien étonnant à ce que si tu les représentes, tu les places tous sur un même axe

Duke.

[snemed]

Bonsoir.Chaque point A_n est défini par son affixe Z_n. A_nA_n+1 représente un segment dont la longueur est d_n.

Duke.

en effet dans l'énoncer il est marquer que Ln est la longueurs des sommets mais par exemple en remplaçant n par 2 dans l'expression de ln avec la somme on trouve des i ce qui n'est pas possible pour une longueurs c'est la que je ne comprend pas
mais si on met le modules dans l'expression de ln on a ln= x ca m'étonnerais que ce soit cela comme on a pas de formules pour l'angle a moins que l'on fasse =arg(z_n+1-z_n)

[ansset]

il ne faut pas confondre dn = Z(n)-Z(n-1) ( qui est un complexe )et
IdnI que tu as calculé, qui est une distance donc un réel.
je t'ai peut êtreinduit en erreur en te disant que c'était OK.
je parlais de l'evolution des modules.
et c'est bien la somme des modules qu'on te demande là.
( distances entre les sommets )

et tu peux calculer la somme sigma(IdnI) ..

[ansset]

je corrige eventuellement.
dans l'enoncé tu ne dis pas clairement si dn est le module de Z(n)-Z(n-1) ou le complexe.

en tout cas pour les "distances" c'est forcement les modules.

[snemed]

je vois bien comment calculer la somme sigma(IdnI) (c'est une suite géo donc la formule) mais je ne vois pas le lien entre AnA(n+1) et IDnI dans l'ecriture AnA(n+1) il y aura forcement des i alors que IDnI est réél ln n peut pas etre egale a la somme de IDnI
qu'elle liens ya t'il entre IDnI et AnA(n+1)?

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Pour moi, il est clair que d_n = |Z_n+1-Z_n| est bien un réel qui correspond à la distance (d'où le d) entre le point d'affixe Z_n+1 (A_n+1) et d'afixe Z_n (A_n).

L_n correspond pour moi à la longueur de l'ensemble des longueurs A_n+1A_n d'où ma (trop rapide ?) proposition (L_n est la somme des d_n).

Duke.

[ansset]

oui, je suis d'accord, dn est bien un réel.
mais c'est le mot "interprétation géometrique" qui sême un peu le trouble dans ma petite tête.
l'énoncé n'est pas super clair, à mon gout.

pour les an:
se souvenir qu'une multiplication d'un complexe par un autre induit une addition des arguments.
comme Zn=C*Z(n-1)
alors arg(Zn)=arg(C)+arg(Z(n-1))

[Duke Alchemist]

Bonjour.

oui, je suis d'accord, dn est bien un réel.
mais c'est le mot "interprétation géometrique" qui sême un peu le trouble dans ma petite tête.
l'énoncé n'est pas super clair, à mon gout.

pour les an:
se souvenir qu'une multiplication d'un complexe par un autre induit une addition des arguments.
comme Zn=C*Z(n-1)
alors arg(Zn)=arg(C)+arg(Z(n-1))

Donner une interprétation géométrique revient à indiquer ce que représente géométriquement ( )(dans un repère par exemple) la grandeur proposée.
Si c'est le module d'un complexe, cela représente une longueur (la norme du vecteur associé à ce complexe).
Si c'est l'argument d'un complexe, c'est un angle (celui entre l'axe des abscisses et le vecteur associe).

Sinon, pour le reste, je suis d'accord avec toi ansset.

Duke.

[snemed]

pour Ln j'ai donc fait la somme des Dn je trouve
Ln=[1-(racinede3/2)^(n+1)]/[1-(racinede3/2)]
la lim est donc 1/[1-(racinede3/2)]

et pour les an j'ai revérifié je crois que mes calculs sont bon et pour la dernière question comme an=arg(Zn) pour que 0. A0 et An soit aligné il faut que sont module soit égale a pi ou 0 [2pi]
ca je crois que c'est bon
en tout cas merci a vous deux pour vote aide et merci d'avoir consacré du temps a mon exercice

[snemed]

petite rectification
ln est en faite égale a [[1-(racinede3/2)^(n+1)]/[2-racinede3]