Calcul du volume d'un pion d'échec avec les integrations.

[Valentin-T-59]

Bonjour à tous je suis nouveau sur le forum, je suis en Daeu B c'est équivalent au bac s et dut. Je dois réaliser un dossier en mathématique sur un sujet de mon choix et étant passionné de jeu d'echec je voudrais réaliser ce dossier sur les intégrales en calculant le volume d'un pion d'echec . Pour info le pion au echec c'est celui qui avance de une case .
Je voulais savoir dans un premier temps si cela était possible et si oui pouvez m'eclaircir pour la procédure à adapter .
Moi j'avais pensé à couper le pion en 3 ou 4 parti afin d'obtenir des figures différentes et en exprimant leur surface en fonction de leur hauteur puis en intégrant j'en déduirais le volume . Mais j'ai un blocage ma premiere figure est de forme sphérique avec une base plate . Et je n'arrive pas à exprimer la valeur de sa surface en fonction de sa hauteur . Pouvez vous m'eclaircir sur ce point merci d'avance bonne journée à bientot .
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[jgiovan]

Bonjour,

Si tu as des notions de calcul intégral et d'anglais, ce lien devrait t'aider :
http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere

Le calcul de volume repose toujours sur la même base : découper en unités infinitésimales de volumes facile à déterminer (dans le cas de la sphère, des disques) et intégrer...

[fiatlux]

Salut, bienvenue sur le forum,

Pour le cas de la sphére tronquée, si tu veux en calculer le volume, il n'y a pas besoin de l'aire. Imagine qu'une sphère (ou une boule, pour être précis, puisqu'une sphère c'est vide) est un empilement de disques extrêment petits, donc le premier a un rayon nul, le deuxième un rayon un tout petit peu plus grand, etc, celui qui est a mi-hauteur a comme rayon le rayon de la sphère, puis les suivants ont de nouveau un rayon plus petits, etc., jusqu'à celui du sommet de la boule qui est également de rayon nul. Alors pour calculer le volume de ta sphère, il suffirait de sommer (ou d'intégrer, justement) les volumes de chacun des disques qui la constituent. Si la "hauteur" de ta sphère est h (et elle vaut en fait deux fois le rayon, évidemment), alors chaque disque a une épaisseur dh. Si on prend la variable r pour le rayon de ta sphère, alors chaque disque a un "volume" (je mets en guillemets car un disque n'a pas de volume, mais là on a en fait des cylindres extrêmement fins) de .
Donc:
Pour avoir le volume entier, tu peux par exemple calculer le volume d'une moitié de sphère, et le multiplier par 2 après --> on intègre sur la demi-hauteur pour la variable h (donc de 0 à R), et sur tout le rayon pour la variable r (donc de 0 à R):
pour une demi-sphère, donc on retrouve bien la formule connue pour la sphère entière:

Dans ton cas, tu as d'un côté une moitié de sphère entière, c'est pas un problème. De l'autre tu as un moitié de sphère tronquée, donc au lieu d'intégrer la hauteur de 0 à R, tu l'intègres d'une certaine valeur H<R à R. De même pour le rayon, tu l'intègres d'une certaine valeur <R à R, étant le rayon qu'a ta sphère à hauteur H.

[Valentin-T-59]

Merci mais ceci ne mais d'aucune utilité et si je fais appel c'est que j'ai deja fais ce genre de recherche sur wikipedia et autre . Disons que ma première parti du pion d'echec et une sphère avec une base plate de diametre 10 mm et arrivé à la moitié le diamètre est de 16mm puis il rétrécit jusqu'à arriver au sommet . la hauteur est égale à 14 mm.
Il faut que je fasse un graphique me donnant la variation de la surface en fonction de la hauteur puis ensuite avec l'integrartion j'en deduiré le volume . Et donc idem pour les autres forme géométrique qui son encore plus compliqué. mais je ni arrive pas pouvez vous me donner un début merci d'avance . J'ai mis une piéce jointe pour vous montrer le pion en question et pour vous donner un idée des différentes parti dont je vais devoir calculer le volume .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Valentin-T-59]

Merci pour ta reponse . Mais en cour on fait toujour un graphique exprimant la surface en fonction de la hauteur donc la dans mon dossier j'aurais bien voulu faire pareil . Par exemple on a eu un exo en cour on devais calculer le volume d'une coupe de champagne . et dans un premier temps on a du realiser un graphique donnant l'aire de la surface du liquide en fonction du niveau atteint par le champagne et on obtenait une droite et le volume etait donné en calculant la surface sous cette droite . donc dans mon dossier j'aurais voulu utiliser cette methode . pour la sphere tronqué et les autre forme geometrique . et je narrive pas a le faire avec la sphere et les autre forme . merci de votre aide

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Je crois que je vois où tu veux en venir avec l'exemple de la flûte de champagne. L'aire dont tu parles n'est pas l'aire du récipient mais celle du ménisque (considéré plan.)

En ce sens la réponse de fiatlux est parfaitement adaptée, mais fait intervenir une intégrale double.

Dans un premier temps, tu devrais effectivement prendre le centre de ta sphère comme origine de la hauteur . Si la sphère a un rayon et est tronquée à une certaine distance en dessous de son centre, on voit aisément que va varier entre et .

Il ne reste plus qu'à découper des rondelles de tête de pion, à exprimer leur surface en fonction de (un bon vieux Grec sait faire ça) et à intégrer sur .

Par analogie avec ton exemple, on remplit un récipient sphérique tronqué d'un liquide, gazeux ou non. On peut ensuite tracer l'aire du ménisque (plan) en fonction de la hauteur et chercher l'aire sous cette courbe entre et pour obtenir le volume final.

Dans le post de fiatlux, cela revient à exprimer en fonction de , toujours grâce au même vieux Grec.

[Valentin-T-59]

Merci pour tous ces conseils mais je n'y arrive pas j'ai fais une figure qui represente ma tete de pion l origine et le centre ce qui fais que quand la hauteur est egale a 0mm et r= 22mm et quand h=22 mm r= 0
et quand h=-20 mm r = 10mm
il me faudrait une equation qui donne h en fonction de r puis la surface en fonction de h . Mais je ne trouve pas les resultats que je trouve c'est n'importe quoi sa me soule .Est ce que c'est possible d'avoir un début ?

[Plume d'Oeuf]

On est d'accord que l'aire d'un disque est si est son rayon.

En faisant un schéma et en appliquant le théorème de Pythagore il vient une expression de en fonction de la hauteur à laquelle se situe ton disque et le rayon de ta (demi) sphère.

[Valentin-T-59]

Je comprends pas tanpi en plus tu me parle de pythagore alors je comprend encore moin
moi j"avais trouvé comme equation h=-0.42Rcarré+22 comme s=pi x r carré donc s=pi/-0.42xh-22

mais cette derniere equation ne marche pas par exemple quand je prend h =-20 je trouve 314.15mm carré ce qui est juste et normalement plus je monte vers l'origne la surface devrais etre plus grand or la elle est plus petite. sa me soule et le pire c'est que les autre parti du pion son plus compliqué .

[Plume d'Oeuf]

Bon je ne parviens pas à créer un schéma correct alors peut être devrais tu le faire toi même au fur et à mesure que tu me lis.

Soit une sphère de centre et de rayon . Soit l'axe vertical passant par et orienté de vers .

L'intersection de la sphère par le plan où nous donne un disque de rayon .

Théorème de Pythagore: .

L'aire du disque s'écrit :

En traçant l'aire du disque en fonction de et en cherchant l'aire sous la courbe entre et (ce qui revient à intégrer entre et ), on retombe bien sur le volume d'une sphère.

A toi maintenant de trouver les bornes de pour une sphère tronquée.

De même comme ton pion a un axe de révolution, le plus simple pour chaque partie de ta pièce est de trouver l'aire d'une coupe perpendiculaire à l'axe en fonction de la hauteur et d'intégrer sur la hauteur.

Je te conseille aussi d'utiliser les formes les plus simples possibles (sphères tronquées, cônes, cylindres) si tu ne veux pas te compliquer la vie.

Bon courage!

[Valentin-T-59]

Merci pour cette nouvelle explication mais j'arrive pas à comprendre c 'est quoi la difference entre r et R . c'est dans un triangle qu' on utilise pythagore . j'ai un peu mal j'avoue.

[Plume d'Oeuf]

Je joins un schéma rapide comprenant une vue en volume et une vue en coupe pour illustrer mon propos.

est le rayon du disque obtenu par l'intersection de la sphère avec un plan, tandis que est le rayon de la sphère.

Bon courage!

[S321]

Il ne serait pas plus simple de plonger votre pion dans un vers d'eau plein à ras bord, puis de mesurer le volume d'eau qui a débordé ?

Votre résultat n'en serait pas moins précis, j'aurai même tendance à penser que c'est le contraire. Après tout vous n'avez pas une si grande précision dans la mesure des rayons des disques en lesquels vous découper votre pion.

On peut mesurer des masses avec une très grande précision (un volume d'eau peut être obtenu à partir de sa masse), il faut un outillage important pour faire de même avec des longueurs.

Il est des fois où le calcul intégral n'est pas indispensable.

[Flyingsquirrel]

Je joins un schéma rapide comprenant une vue en volume et une vue en coupe pour illustrer mon propos.

J'ai supprimé la pièce jointe car nous n'acceptons pas les images au format PDF (essentiellement parce c'est plus compliqué à consulter). Merci de reposter les schémas dans un format adapté aux images (gif, jpeg, png...).

[Plume d'Oeuf]

D'accord, désolé pour ça.

Les voici au format png.

[hhh86]

Par contre il va falloir que tu effectues des mesures sur ton pion

[Valentin-T-59]

merci hhh6 ta réflechie longtemps pour dire sa repose toi un peu si tu veux tu dois etre fatigué . lol mdr non je plaisante bien entendu je dois prendre des mesures ce qui est deja fais. Mais vue que je galere je vais peux etre changé de sujet . Auriez vous des idées. ??????????????????????????

[hhh86]

merci hhh6 ta réflechie longtemps pour dire sa repose toi un peu si tu veux tu dois etre fatigué . lol mdr non je plaisante bien entendu je dois prendre des mesures ce qui est deja fais. Mais vue que je galere je vais peux etre changé de sujet . Auriez vous des idées. ??????????????????????????

Très simpa comme remarque mais bon si tu veux qu'on t'aide, il faut y mettre un peu du tien.

La troisième figure est la rotation d'un arc d'hyperbole autour d'un axe