Montrer que 3 droites sont concourantes

[freeman007]

J'ai un petit souci avec un énoncé :

Soient A,B,C 3 points non alignés d'un plan P.
On appelle I le point de P tel que IB = (1/4)CB (équation vectorielle).
On appelle J le point de P tel que AJ = (1/4)AC (équation vectorielle).
On appelle K le milieu de [AB].
Démontrer que les droite (AI),(BJ),(CK) sont concourantes :
a) Sans utiliser de repère.
b) En introduisant un repère de votre choix.

Sans difficulté j'ai démontré que les droites sont concourantes en utilisant le théorème de Céva.

La où je bloque je ne comprends pas la différence entre a) et b)???
En utilisant le théorème de Céva j'ai répondu à a) ou b) ???
Le théorème d'associativité du barycentre est-elle l'autre solution ???

Merci pour vos réponses.
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[Titiou64]

salut,

je pense qu'avec le théorème de Ceva tu a répondu à la question a).
Le fait d'introduire un repère implique, à mon sens, d'utiliser des coordonnées en (x,y) pour prouver la concourance (pas sur que ça existe comme mot...)

[freeman007]

Merci Titiou64 pour ta réponse, j'ai suivi ton conseil...

Je vous expose la méthode pour répondre au b)... Mais je ne suis pas convaincu que j'ai le droit de faire comme cela...
Si vous pouvez ne dire si j'ai le droit d'appliquer cette méthode... merci par avance.

Les 3 point A,B et C forme un triangle (puisque non alignés), je me suis appuyé sur ces 3 points pour construire mon repère.
Ce repère a pour origine A, "i" comme vecteur unitaire porté par AB (axe des abscisses) et "j" comme vecteur unitaire porté par AC (axe des ordonnées).
Ce repère n'est pas orthogonal puisque le triangle est quelconque.

A partir de ce repère, il a été facile de mettre en place des coordonnées :
A(0;0) B(b;0) C(0;c) K(b/2;0) J(0;c/4)
Le problème est pour mettre en place les coordonnées de I...
Pour cela j'ai utilisé le théorème de Thalès car (JI) et (AB) sont parallèles donc CJ/CA = JI/AB. J'ai utilisé la norme de vecteur pour déterminer les grandeurs algébriques (Je ne sais pas si j'ai le droit dans un repère non orthogonal) ce qui n'a donné I(3b/4;c/4).
Avec ces coordonnées il a été facile de déterminer les équations des droites (AI), (BJ) et (CK) (cela dit j'ai des doutes l'équation y=ax + b peut-elle être utilisée dans un repère non orthogonal).
Avec 2 équations j'ai déterminé le point de concourt O puis j'ai vérifié si le point O vérifier la 3ième équation. Il la vérifie donc les 3 droites sont concourantes.


Voila la méthode j'ai le droit ?????

[Titiou64]

salut,

tu as suivi le bon raisonnement. par contre, je ne suis pas sur que tu es le droit d'utiliser un repère non orthonormé (mais je ne vois pas de failles dans ta démonstration).
Pour être sur, tu peux essayer de le refaire en prenant un repère orthonormé...

[A voir en vidéo sur Futura]

[freeman007]

Je viens de tester la méthode appliquée à un repère orthonormé et ce la fonctionne très bien...

Le seul truc c'est que cela complique légèrement les écritures des équations...

Encore merci du tuyau Titiou64.

[MMu]

Juste pour dire qu'effectivement on peut aussi utiliser les barycentres.
sont respectivement les barycentres de .
Soit le barycentre de .
On montre facilement que est aussi barycentre de , de et de d'où le résultat demandé .