Multiple

[Warendorf]

Quelqu'un pourrait'il m'aider pour cette question:
Démontrer que si un carré d'un nombre rationnel est un multiple de 5 alors ce nombre est un multiple de 5.

Je pose le nombre rationnel sachant que a et b appartiennent à et b non nul.
J'obtiens donc:

Mais ensuite?
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour Warendorf ,

Montre le tout d'abord pour des nombres entiers, par exemple en prenant la décomposition en facteurs premiers, peut être cela t'aidera pour celle des rationnelles. Mais fais attention si N est un multiple de P alors il existe k tel que N=kP et non N=P

Bonne chance. RoBeRTo

[Warendorf]

Merci pour ta réponse Roberto...
Mais si je pose irréductible?

[RoBeRTo-BeNDeR]

La fraction est un entier car c'est un multiple de 5 donc divise or tu as raison on peut prendre irréductible donc est elle même irréductible donc comme c'est un entier donc ou
Si on ne la suppose pas irréductible on la divise par le PGCD de a et de b ce qui revient au cas du début.

on a donc multiple de 5 ce qui revient à démontrer que tout entier au carré qui est un multiple de 5 implique que ses racines carrées sont des multiples de 5.

donc multiple de 5.

Supposons que a n'est pas un multiple de 5, on peut l'écrire sous la forme de sa décomposition en facteurs premiers unique.

Donc avec les des nombres premiers différents de 5 et différents deux à deux et les tous non nuls on a donc

donc ne peut pas s'écrire sous la forme 5k avec k entier donc n'est pas un multiple de 5. Ce qui amène une contradiction.

donc a est un multiple de 5.

Ne sachant pas ton niveau scolaire cette démonstration est d'un niveau 1ère peu être terminale.

RoBeRTo. n'hésite pas pour tout explication supplémentaire.

[A voir en vidéo sur Futura]