Problème PGCD

[invite66893346]

Bonjour !!

J'ai un problème assez difficile que je ne comprends pas

Quelqu'un peut m'aider ?

Le voilà !

On sait que p et q appartiennent a N*

Il faut trouver p et q tels que:

p + q = 84

pq = k³

Et PGCD(p;q)=k

Je n'y comprends pas grand choses !
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, que sais tu du PGCD? justement que c'est un pgcd! donc k qui est le pgcd de p et de q divise p et divise q donc divise p+q donc k divise 84.
Il faut donc établir la liste des diviseurs de 84. Mais comme k divise p et divise q il sera plus petit que 84/2=42 car divise leur somme donc sera nécessairement plus petit ou égal au plus petit entre p et q donc plus petit que leur demi somme. Donc établi la liste des diviseur de 84 plus petit ou égal à 42.
Et ensuite cherche pour chacun les solutions possibles.

RoBeRTo

[RoBeRTo-BeNDeR]

PS: il y a peut être d'autres théorèmes qui peuvent aider.

[NicoEnac]

Bonjour,

Ce que dit RoBeRTo-BeNDeR (quel nom chiant à écrire si on respecte les majuscules ) est juste. J'aurais une humble solution qui n'oblige pas à faire la liste des diviseurs :
k, en tant que pgcd de p et q, divise p. De même, il divise q. On peut donc écrire :
p = k.p' et q = k.q' avec p' et q' premiers entre eux.
On a donc que p.q = (k.p').(k.q') = k².p'.q' = k³. D'où p'.q' = k
D'autre part, p + q = k.(p' + q') = p'.q'.(p' + q') = 84.
Or p' et q' sont premiers entre eux donc p'+q' est premier avec p' et q'. En décomposant 84 en produits de facteurs premiers, il n'y a pas deux solutions pour que 84 soit produit de 3 nombres tous premiers entre eux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite66893346]

Bonjour, que sais tu du PGCD? justement que c'est un pgcd! donc k qui est le pgcd de p et de q divise p et divise q donc divise p+q donc k divise 84.
Il faut donc établir la liste des diviseurs de 84. Mais comme k divise p et divise q il sera plus petit que 84/2=42 car divise leur somme donc sera nécessairement plus petit ou égal au plus petit entre p et q donc plus petit que leur demi somme. Donc établi la liste des diviseur de 84 plus petit ou égal à 42.
Et ensuite cherche pour chacun les solutions possibles.

RoBeRTo

84 = 2 x 42 = 3 x 28 = 4 x 21= 6 x 14 = 7 x 12
C'est comme sa ??

p + q = 84

pq = k³

Et PGCD(p;q)=k

Je ne comprends pas !! La somme d'aucun diviseur ne vaut 84 !

Bonjour,

Ce que dit RoBeRTo-BeNDeR (quel nom chiant à écrire si on respecte les majuscules ) est juste. J'aurais une humble solution qui n'oblige pas à faire la liste des diviseurs :
k, en tant que pgcd de p et q, divise p. De même, il divise q. On peut donc écrire :
p = k.p' et q = k.q' avec p' et q' premiers entre eux.
On a donc que p.q = (k.p').(k.q') = k².p'.q' = k³. D'où p'.q' = k
D'autre part, p + q = k.(p' + q') = p'.q'.(p' + q') = 84.
Or p' et q' sont premiers entre eux donc p'+q' est premier avec p' et q'. En décomposant 84 en produits de facteurs premiers, il n'y a pas deux solutions pour que 84 soit produit de 3 nombres tous premiers entre eux.

Et donc il y a aucun p et q pour que les conditions sont verifiés ?

[NicoEnac]

J'ai dit "il n'y a pas deux solutions...." et non pas "il n'y a pas de solutions..." ce qui veut dire qu'il y en a une seule !

84 = 2²x3x7 donc sachant que p', q' et (p'+q') sont tous premiers entre eux et que leur produit vaut 84, que peuvent bien valoir p' et q' ? Du coup, k = p'.q' => tu peux trouver p et q

[invite66893346]

84 = 2²x3x7 donc sachant que p', q' et (p'+q') sont tous premiers entre eux et que leur produit vaut 84, que peuvent bien valoir p' et q' ?

Excusez-moi, je ne vois vraiment pas...