suite numérique

[invitefb99fc9d]

Bonjours petit soucis avec mon exercice:

U désigne la suite de terme général Un défini pour tout entier naturel non
1
nul par un=Fx(^n)ln(1+x)dx
0
on me demande de démontrer que 0< Un < (ln(2)/n+1)

Si 0<x<1 alors 1<x+1<2

Donc ln(1)<ln(1+x)<ln(2) car la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +oo[

Soit 0<ln(1+x)<ln(2)

d'où fx^n.0 dx< fx^n.ln(1+x)dx< fx^n.ln(2)dx CAR x^n>0

alors 0< fx^n.ln(1+x)dx<ln(2)fx^n dx CAR l'intégrale conserve l'ordre des éléments

OR fx^n dx=[(x^(n+1))/(n+1)] =(1)/(n+1)

D'où 0<Un<(ln(2))/(n+1))

2)En déduire que la suite U est convergente et donner sa limite (ca je ne sais pas faire)

Merci de votre aide
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[369]

pour montrer que la suite Un converge tu peux regarder si elle est croissante car une suite croissante et majorée converge

[invitefb99fc9d]

OK mais j'ai plus de problème pour la limites car nous n'avons jamais eu le temps de voir sa et je sais pas comment on fait.

[ansset]

pour montrer que la suite Un converge tu peux regarder si elle est croissante car une suite croissante et majorée converge

je ne pene pas que Un soit croissante, mais plutôt décroissante, positive et majorée par un terme qui tend vers 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefb99fc9d]

C'est a dire je dois faire quoi?

[Tiky]

Bonjour,

Ansset est dans le vrai. La suite est décroissante. En effet pour . D'où

En revanche tu as montré que . Connais-tu le théorème des gendarmes ?

Remarque que l'argument de 369 te permet de démontrer que la suite est convergente mais tu ne pourras pas déterminer sa limite ainsi.

[invitefb99fc9d]

Non je ne la connais pas j'ai vraiment jamais fais de limite
ou j'ai déjà essayer mais je ne comprend pas. Mais cette foi si je veut y arriver et cette méthode on m'en a vaguement parler (juste dis le nom) j'ai regarder sur internet mais c'est mal expliquer je pense revoir les limites depuis le début si je veux comprendre cette méthode

[Tiky]

Le théorème des gendarmes dit la chose suivante :
Soit et deux suites réelles convergents vers .
Si la suite réelle vérifie : , alors est convergente et tend vers l.

La démonstration est très simple. On remarque tout d'abord qu'on peut se ramener au cas où les suites tendent vers 0. Il suffit de poser :
, et .

On sait que par définition de la convergence :



On pose .
Alors pour , on a . C'est-à-dire . N'ayant pas fait d'hypothèse sur (mise à part le fait qu'il soit positif), on a démontré que tend vers 0, c'est-à-dire tend vers l.

[ansset]

en fait, il y a deux choses.
la "notion" de limite , puis le théorème des gendarmes.

notion de limite, la définition est pour une suite Un.
je l'ecrit en français pour être explicite.
quelquesoit epsilon ( de plus en plus petit )
il existe un N tel que :
pour tout n>N alors !Un-L! < epsilon. ( L limite et !! valeur abolue ).

on montre donc que ln(2)/(n+1) a bien pour limite 0
en effet.
pour un espilon donné alors pour tout n > ln(2)/epsilon -1 alors la fonction est bien inférieure à epsilon.

donc Un est coincé entre 0 et une suite qui converge vers 0.le théorème ds gendarme dit alors que Un tend vers 0